Номер 355, страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

355 Укажите формулу, которая задаёт арифметическую прогрессию ($a_n$).

1) $a_n = \frac{n}{n + 1}$;

2) $a_n = n^2 + 2$;

3) $a_n = 21 - 3n$;

4) $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность $(a_n)$, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа $d$, называемого разностью прогрессии. То есть, для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$.

Из этого определения следует, что разность между любыми двумя соседними членами арифметической прогрессии постоянна: $a_{n+1} - a_n = d$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии. Раскрыв скобки, получим $a_n = a_1 + dn - d = dn + (a_1 - d)$. Это линейная функция от $n$ вида $a_n = kn + b$, где $k=d$ и $b = a_1 - d$.

Проверим каждую из предложенных формул на соответствие этому определению.

1) $a_n = \frac{n}{n+1}$
Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами последовательности:$d_n = a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{(n+1)+1} - \frac{n}{n+1} = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}$$d_n = \frac{(n+1)(n+1) - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$Разность зависит от $n$, значит, она не является постоянной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

2) $a_n = n^2 + 2$
Формула n-го члена является квадратичной функцией от $n$, а не линейной.Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:$d_n = a_{n+1} - a_n = ((n+1)^2 + 2) - (n^2 + 2) = (n^2 + 2n + 1 + 2) - n^2 - 2 = 2n + 1$Разность $2n+1$ зависит от $n$, значит, она не является постоянной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

3) $a_n = 21 - 3n$
Эта формула является линейной функцией от $n$, что соответствует виду $a_n = kn+b$, где $k=-3$ и $b=21$.Найдем разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами:$d = a_{n+1} - a_n = (21 - 3(n+1)) - (21 - 3n) = (21 - 3n - 3) - (21 - 3n) = 18 - 3n - 21 + 3n = -3$Разность постоянна и равна $-3$. Следовательно, эта формула задает арифметическую прогрессию.

4) $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$
Это формула n-го члена геометрической прогрессии, где первый член равен 3, а знаменатель равен 2.Проверим разность между соседними членами:$a_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3$$a_2 = 3 \cdot 2^{2-1} = 3 \cdot 2^1 = 6$$a_3 = 3 \cdot 2^{3-1} = 3 \cdot 2^2 = 12$$a_2 - a_1 = 6 - 3 = 3$$a_3 - a_2 = 12 - 6 = 6$Разность не является постоянной. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Таким образом, единственная формула, которая задает арифметическую прогрессию, — это $a_n = 21 - 3n$.

Ответ: 3