Номер 356, страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

356 Укажите формулу, которая задаёт геометрическую прогрессию ($b_n$).

1) $b_n = \frac{2n + 1}{n}$;

2) $b_n = 3n^2$;

3) $b_n = 6n + 4$;

4) $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$.

По определению, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, если для всех натуральных $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$, где $q$ — некоторое число, не равное нулю, называемое знаменателем прогрессии. Иначе говоря, отношение последующего члена к предыдущему должно быть постоянной величиной: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Проверим каждую из предложенных формул.

1) $b_n = \frac{2n + 1}{n}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = \frac{2(n+1) + 1}{n+1} = \frac{2n + 3}{n+1}$.

Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{2n + 3}{n+1}}{\frac{2n + 1}{n}} = \frac{n(2n + 3)}{(n+1)(2n + 1)}$

Это отношение зависит от $n$, следовательно, оно не является постоянным. Значит, данная последовательность не является геометрической прогрессией.

2) $b_n = 3n^2$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 3(n+1)^2$.

Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3(n+1)^2}{3n^2} = \frac{(n+1)^2}{n^2} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$

Это отношение зависит от $n$, следовательно, оно не является постоянным. Значит, данная последовательность не является геометрической прогрессией.

3) $b_n = 6n + 4$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 6(n+1) + 4 = 6n + 10$.

Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{6n + 10}{6n + 4}$

Это отношение зависит от $n$, следовательно, оно не является постоянным. Данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=6$, но не геометрической.

4) $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 3 \cdot 2^{(n+1)-1} = 3 \cdot 2^n$.

Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = 2^{n-(n-1)} = 2^1 = 2$

Отношение постоянно и равно 2. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3$ и знаменателем $q=2$.

Таким образом, единственная формула, которая задает геометрическую прогрессию, — это формула под номером 4.

Ответ: 4.