Номер 350, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

350 Найдите сумму первых четырёх членов конечной геометрической прогрессии, если $b_1 = \frac{5}{12}$, $q = \frac{1}{5}$.

1) $\frac{31}{60}$;

2) $0,52$;

3) $-0,52$;

4) $-\frac{31}{60}$.

Для нахождения суммы первых четырёх членов конечной геометрической прогрессии используется формула суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

где $b_1$ — это первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти.

В нашем случае даны следующие значения:

• $b_1 = \frac{5}{12}$
• $q = \frac{1}{5}$
• $n = 4$

Подставим эти значения в формулу для нахождения суммы $S_4$:

$S_4 = \frac{\frac{5}{12}(1 - (\frac{1}{5})^4)}{1 - \frac{1}{5}}$

Проведём вычисления по шагам.

1. Вычислим знаменатель основной дроби:

$1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

2. Вычислим числитель основной дроби. Сначала найдём $q^4$:

$q^4 = (\frac{1}{5})^4 = \frac{1}{625}$

Теперь вычислим выражение в скобках:

$1 - q^4 = 1 - \frac{1}{625} = \frac{625}{625} - \frac{1}{625} = \frac{624}{625}$

Наконец, умножим полученное значение на $b_1$:

$b_1(1 - q^4) = \frac{5}{12} \cdot \frac{624}{625} = \frac{5 \cdot 624}{12 \cdot 625}$

Сократим дробь:

$\frac{5 \cdot 624}{12 \cdot 625} = \frac{5 \cdot (12 \cdot 52)}{12 \cdot (5 \cdot 125)} = \frac{52}{125}$

3. Найдём итоговое значение $S_4$, разделив числитель на знаменатель:

$S_4 = \frac{\frac{52}{125}}{\frac{4}{5}} = \frac{52}{125} \cdot \frac{5}{4} = \frac{52 \cdot 5}{125 \cdot 4}$

Сократим и эту дробь:

$\frac{52 \cdot 5}{125 \cdot 4} = \frac{(13 \cdot 4) \cdot 5}{(25 \cdot 5) \cdot 4} = \frac{13}{25}$

Для сравнения с предложенными вариантами ответов переведём обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{13}{25} = \frac{13 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{52}{100} = 0,52$

Этот результат соответствует варианту ответа 2).

Ответ: $0,52$