Номер 348, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

348 Найдите сумму первых 25 членов арифметической прогрессии ($a_1$), если $a_1 = 18, d = -2$.

1) -175; 2) 1075; 3) 1050; 4) -150.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ можно использовать одну из двух формул. В данном случае, когда известны первый член $a_1$, разность $d$ и количество членов $n$, удобнее всего использовать следующую формулу:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

По условию задачи нам даны:

• Первый член прогрессии: $a_1 = 18$
• Разность прогрессии: $d = -2$
• Количество членов для суммирования: $n = 25$

Подставим эти значения в формулу для вычисления суммы первых 25 членов ($S_{25}$):

$S_{25} = \frac{2 \cdot 18 + (-2) \cdot (25-1)}{2} \cdot 25$

Выполним вычисления по шагам:

1. Вычислим выражение в скобках: $25 - 1 = 24$.

$S_{25} = \frac{2 \cdot 18 + (-2) \cdot 24}{2} \cdot 25$

2. Выполним умножения в числителе дроби: $2 \cdot 18 = 36$ и $(-2) \cdot 24 = -48$.

$S_{25} = \frac{36 - 48}{2} \cdot 25$

3. Выполним вычитание в числителе: $36 - 48 = -12$.

$S_{25} = \frac{-12}{2} \cdot 25$

4. Разделим числитель на знаменатель: $-12 / 2 = -6$.

$S_{25} = -6 \cdot 25$

5. Выполним последнее умножение:

$S_{25} = -150$

Таким образом, сумма первых 25 членов данной арифметической прогрессии равна -150.

Проверка другим способом:

Можно сначала найти 25-й член прогрессии $a_{25}$ по формуле $n$-го члена $a_n = a_1 + d(n-1)$:

$a_{25} = 18 + (-2)(25-1) = 18 - 2 \cdot 24 = 18 - 48 = -30$

Затем использовать вторую формулу для суммы $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{25} = \frac{18 + (-30)}{2} \cdot 25 = \frac{-12}{2} \cdot 25 = -6 \cdot 25 = -150$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: -150.