Страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Из скольких основных этапов состоит порядок преобразования данных конкретного измерения?

Порядок преобразования и обработки данных конкретного измерения, особенно в области метрологии и естественных наук, как правило, состоит из пяти основных этапов. Эти этапы позволяют перейти от набора «сырых» данных к окончательному результату, представленному с оценкой его точности (погрешности).

1. Исключение известных систематических и грубых погрешностей (промахов)

На первом этапе проводится первичная обработка результатов наблюдений. Сначала вносят поправки для устранения известных систематических погрешностей (например, поправка на температуру, калибровочная поправка прибора). Затем из ряда измерений исключают грубые погрешности, или промахи — это результаты, которые резко отличаются от остальных. Для их выявления используют статистические критерии, например, критерий Романовского, критерий Граббса или правило «трех сигм».

2. Вычисление наилучшей оценки измеряемой величины

После очистки данных от промахов и внесения поправок, в качестве наилучшей оценки истинного значения измеряемой величины обычно принимают среднее арифметическое значение оставшихся результатов измерений $x_1, x_2, ..., x_n$:

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

Эта величина является центром, вокруг которого распределены результаты наблюдений.

3. Оценка случайной составляющей погрешности

Случайные погрешности вызывают разброс данных вокруг среднего значения. Для их количественной оценки вычисляют стандартное отклонение (среднеквадратическое отклонение, СКО) отдельного измерения:

$S_x = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$

Затем рассчитывают СКО среднего арифметического, которое характеризует погрешность самого результата:

$S_{\bar{x}} = \frac{S_x}{\sqrt{n}}$

Наконец, определяют доверительный интервал для случайной погрешности, который с заданной доверительной вероятностью $P$ накрывает истинное значение. Граница этого интервала $\Delta x_{сл}$ вычисляется с помощью коэффициента Стьюдента $t_{P,n}$:

$\Delta x_{сл} = t_{P,n} \cdot S_{\bar{x}}$

4. Оценка неисключенной систематической составляющей погрешности

На этом этапе оценивают погрешности, которые не удалось устранить поправками. К ним относятся инструментальная погрешность (класс точности прибора), погрешности метода, погрешности из-за внешних условий и т.д. Эти составляющие суммируются для получения границы суммарной неисключенной систематической погрешности $\Theta$. Если составляющие независимы, их суммируют по правилу:

$\Theta = k \sqrt{\sum_{j=1}^{m}\Theta_j^2}$

где $\Theta_j$ — границы отдельных составляющих систематической погрешности, а $k$ — коэффициент, зависящий от закона распределения.

5. Расчет суммарной погрешности и представление окончательного результата

На заключительном этапе объединяют случайную и систематическую составляющие для нахождения суммарной погрешности измерения $\Delta x$. В зависимости от соотношения между $\Theta$ и $S_{\bar{x}}$ используются разные формулы. Чаще всего применяется метод суммирования СКО обеих составляющих:

$\Delta x = K \sqrt{S_{\bar{x}}^2 + (\frac{\Theta}{k})^2}$

где $K$ — общий коэффициент, зависящий от доверительной вероятности.

Окончательный результат измерения записывается в стандартной форме:

$X = \bar{x} \pm \Delta x$

При этом обязательно указывают доверительную вероятность $P$, для которой была рассчитана погрешность $\Delta x$.

Ответ: Порядок преобразования данных конкретного измерения состоит из пяти основных этапов.

2. Назовите этапы преобразования данных конкретного измерения. Опишите, в чём состоит упорядочивание и группировка данных.

Этапы преобразования данных конкретного измерения

Преобразование данных, полученных в результате конкретного измерения, представляет собой последовательный процесс, который можно разделить на следующие основные этапы:

1. Сбор данных. Это начальный этап, на котором производятся измерения и фиксируются их результаты в необработанном виде (так называемые «сырые» данные). Например, измерение времени, за которое 30 спортсменов пробегают дистанцию 100 метров.

2. Первичная обработка и систематизация. На этом этапе данные проверяются на наличие ошибок, пропусков и аномальных значений (выбросов). После проверки данные организуются и представляются в удобной для дальнейшей работы форме, например, в виде таблицы. Этот первоначальный набор данных называется первичной совокупностью.

3. Упорядочивание (ранжирование) данных. Все полученные значения располагаются в порядке возрастания или убывания. В результате получается ранжированный ряд, который позволяет наглядно оценить диапазон значений и найти центральные элементы.

4. Группировка данных. Если данных много и они имеют большой разброс, их объединяют в группы (интервалы). Для каждой группы подсчитывается количество попавших в нее значений — частота. В результате формируется интервальный вариационный ряд, который показывает распределение данных.

5. Расчет сводных статистических показателей. Вычисляются обобщающие характеристики выборки:

   • Меры центральной тенденции: среднее арифметическое, мода, медиана.
   • Меры вариации (рассеяния): размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

6. Графическое представление и визуализация. Для наглядного представления результатов строятся таблицы, графики и диаграммы: полигон частот, гистограмма, круговая диаграмма и т.д.

7. Анализ и интерпретация результатов. На заключительном этапе проводится анализ полученных данных, показателей и графиков, на основе которого делаются выводы об исследуемом явлении или процессе.

Ответ: Основные этапы преобразования данных измерения включают: сбор данных, их первичную обработку и систематизацию, упорядочивание (ранжирование), группировку, расчет сводных статистических показателей, графическое представление и, наконец, анализ и интерпретацию результатов.

Упорядочивание и группировка данных

Упорядочивание — это процесс расположения всех собранных данных (элементов выборки) в определенном порядке: либо по возрастанию (от наименьшего значения к наибольшему), либо по убыванию (от наибольшего к наименьшему). Результатом этого процесса является ранжированный ряд. Упорядочивание необходимо для визуальной оценки распределения, быстрого нахождения минимального и максимального значений (и, следовательно, размаха вариации), а также для определения медианы — значения, которое делит упорядоченный ряд пополам.

Пример: Исходные данные о росте (в см): 175, 168, 182, 168, 177.
Ранжированный ряд по возрастанию: 168, 168, 175, 177, 182.

Группировка — это процесс разделения всей совокупности данных на группы (или классы, интервалы) по какому-либо признаку. Этот метод применяется, когда данных много и они разнообразны. Для каждой группы подсчитывается, сколько элементов данных в нее попало — это называется частотой группы. Группировка позволяет сжать большой объем информации, выявить закономерности в ее распределении и представить данные в компактном виде (в виде статистического ряда распределения), что упрощает их дальнейший анализ и построение гистограмм. Число групп $k$ для выборки объемом $n$ часто определяют по формуле Стерджесса: $k \approx 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(n)$. Ширина интервала $h$ вычисляется как отношение размаха вариации $R$ к числу групп $k$.

Пример: Для 100 измерений роста, где $x_{min} = 155$ см и $x_{max} = 195$ см, размах $R = 40$ см. Если выбрать 8 групп ($k=8$), то ширина интервала $h = 40 / 8 = 5$ см. Интервалы будут: [155; 160), [160; 165), ..., [190; 195]. Затем подсчитывается количество людей в каждой группе.

Ответ: Упорядочивание — это расположение данных в порядке возрастания или убывания. Группировка — это объединение данных в интервалы (группы) для анализа их распределения путем подсчета частоты попадания значений в каждый интервал.

341 Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = -4$,

$b_6 = \frac{1}{8}$.

1) $\frac{1}{2}$;

2) $\frac{1}{4}$;

3) $-2$;

4) $-\frac{1}{2}$.

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии ($q$) используется формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $n$ — номер члена.

В данной задаче известны следующие значения:
первый член прогрессии $b_1 = -4$;
шестой член прогрессии $b_6 = \frac{1}{8}$.

Подставим эти данные в формулу для $n=6$:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$
$\frac{1}{8} = -4 \cdot q^5$

Чтобы найти $q^5$, разделим обе части уравнения на -4:
$q^5 = \frac{\frac{1}{8}}{-4} = \frac{1}{8 \cdot (-4)} = -\frac{1}{32}$

Теперь, чтобы найти $q$, необходимо извлечь корень пятой степени из полученного значения:
$q = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$

Поскольку $2^5 = 32$, то $(-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1}{32}$.
Следовательно, знаменатель прогрессии равен:
$q = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

342 Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 2$, $b_5 = 162$.

1) 3;

2) -3;

3) $\pm 3$;

4) $\pm 9$.

Для нахождения знаменателя $q$ геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Согласно условию задачи, нам известны первый член $b_1 = 2$ и пятый член $b_5 = 162$. Подставим эти значения в формулу для $n=5$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$162 = 2 \cdot q^4$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$. Сначала разделим обе части уравнения на 2:
$q^4 = \frac{162}{2}$
$q^4 = 81$

Чтобы найти $q$, необходимо извлечь корень четвертой степени из 81. Поскольку показатель степени 4 является четным числом, уравнение будет иметь два действительных корня — положительный и отрицательный.
$q = \pm\sqrt[4]{81}$
Так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, то корень равен 3.

Следовательно, знаменатель прогрессии $q$ может быть равен 3 или -3, что можно записать как $q = \pm3$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) ±3

343 Найдите первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, если

$a_{13}=5,1, d=-0,3.$

1) 1,5;

2) 1,2;

3) 9;

4) 8,7.

Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $a_1$ используется формула n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_n$ – это n-й член прогрессии, $a_1$ – первый член, $n$ – порядковый номер члена, а $d$ – разность прогрессии.

Согласно условию задачи, мы имеем:

$a_{13} = 5,1$

$d = -0,3$

$n = 13$

Подставим эти значения в формулу, чтобы выразить и найти $a_1$.

$5,1 = a_1 + (13-1) \cdot (-0,3)$

Теперь решим полученное уравнение:

$5,1 = a_1 + 12 \cdot (-0,3)$

$5,1 = a_1 - 3,6$

Чтобы найти $a_1$, перенесём $-3,6$ в левую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$a_1 = 5,1 + 3,6$

$a_1 = 8,7$

Первый член арифметической прогрессии равен 8,7. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 8,7.

344 Найдите первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, если

$a_{18}=-9,6, d=0,8.$

1) 4;

2) -23,2;

3) -24;

4) 4,8.

Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $a_1$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член прогрессии, $n$ — номер члена прогрессии, а $d$ — разность прогрессии.

В нашем случае известны следующие значения:

• $n = 18$
• $a_{18} = -9,6$
• $d = 0,8$

Выразим из формулы первый член $a_1$:

$a_1 = a_n - (n-1)d$

Подставим известные значения в эту формулу:

$a_1 = a_{18} - (18-1)d$

$a_1 = -9,6 - (17) \cdot 0,8$

Теперь выполним вычисления:

1. Сначала найдем произведение:

$17 \cdot 0,8 = 13,6$

2. Затем подставим полученное значение в выражение для $a_1$:

$a_1 = -9,6 - 13,6$

$a_1 = -23,2$

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен $-23,2$. Это соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: -23,2.

345 Последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия. Найдите $b_1$, если $b_8 = 512, q=2$.

1) 0,5;

2) 0,25;

3) 4;

4) 2.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

где $b_n$ – n-й член прогрессии, $b_1$ – первый член прогрессии, $q$ – знаменатель прогрессии, $n$ – порядковый номер члена.

По условию нам дано: $b_8 = 512$, $q = 2$, $n=8$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $b_1$.

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1}$

$512 = b_1 \cdot 2^7$

Вычислим $2^7$:

$2^7 = 128$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$512 = b_1 \cdot 128$

Чтобы найти $b_1$, разделим 512 на 128:

$b_1 = \frac{512}{128}$

$b_1 = 4$

Первый член геометрической прогрессии равен 4, что соответствует варианту ответа 3).

Ответ: 4.

346 Последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия. Найдите $b_1$,

если $b_3 = \frac{1}{3}, b_4 = -\frac{1}{12}$.

1) $\frac{1}{48}$;

2) $\frac{16}{3}$;

3) $-\frac{16}{3}$;

4) $\frac{4}{3}$.

По определению, геометрическая прогрессия $(b_n)$ — это последовательность чисел, в которой каждый последующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число $q$, называемое знаменателем прогрессии.

Следовательно, для членов $b_3$ и $b_4$ справедливо соотношение $b_4 = b_3 \cdot q$.

Из этого соотношения мы можем найти знаменатель прогрессии $q$, используя данные из условия задачи: $b_3 = \frac{1}{3}$ и $b_4 = -\frac{1}{12}$.

$q = \frac{b_4}{b_3} = \frac{-\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}} = -\frac{1}{12} \cdot \frac{3}{1} = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4}$

Теперь, зная знаменатель прогрессии, мы можем найти первый член $b_1$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Воспользуемся этой формулой для третьего члена прогрессии $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Выразим из этой формулы $b_1$:

$b_1 = \frac{b_3}{q^2}$

Подставим известные значения $b_3 = \frac{1}{3}$ и $q = -\frac{1}{4}$:

$b_1 = \frac{\frac{1}{3}}{(-\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{16}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{1} = \frac{16}{3}$

Ответ: $ \frac{16}{3} $.

347 Найдите сумму первых 26 членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = -4, d = 3$.

1) 871; 2) 1089; 3) 837,5; 4) 1037,5.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ используется формула: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — количество суммируемых членов.

Согласно условию задачи, мы имеем:
Первый член $a_1 = -4$.
Разность $d = 3$.
Количество членов $n = 26$.

Подставим данные значения в формулу для вычисления суммы первых 26 членов ($S_{26}$): $S_{26} = \frac{2 \cdot (-4) + 3 \cdot (26 - 1)}{2} \cdot 26$

Выполним вычисления по порядку. Сначала найдём значение в числителе дроби: $2 \cdot (-4) + 3 \cdot (25) = -8 + 75 = 67$

Теперь подставим полученный результат обратно в формулу суммы: $S_{26} = \frac{67}{2} \cdot 26$

Для упрощения вычислений можно сократить 26 и 2: $S_{26} = 67 \cdot \frac{26}{2} = 67 \cdot 13$

Осталось вычислить произведение: $67 \cdot 13 = 871$

Таким образом, сумма первых 26 членов данной арифметической прогрессии равна 871, что соответствует первому варианту ответа.

Ответ: 871

348 Найдите сумму первых 25 членов арифметической прогрессии ($a_1$), если $a_1 = 18, d = -2$.

1) -175; 2) 1075; 3) 1050; 4) -150.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $(a_n)$ можно использовать одну из двух формул. В данном случае, когда известны первый член $a_1$, разность $d$ и количество членов $n$, удобнее всего использовать следующую формулу:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

По условию задачи нам даны:

• Первый член прогрессии: $a_1 = 18$
• Разность прогрессии: $d = -2$
• Количество членов для суммирования: $n = 25$

Подставим эти значения в формулу для вычисления суммы первых 25 членов ($S_{25}$):

$S_{25} = \frac{2 \cdot 18 + (-2) \cdot (25-1)}{2} \cdot 25$

Выполним вычисления по шагам:

1. Вычислим выражение в скобках: $25 - 1 = 24$.

$S_{25} = \frac{2 \cdot 18 + (-2) \cdot 24}{2} \cdot 25$

2. Выполним умножения в числителе дроби: $2 \cdot 18 = 36$ и $(-2) \cdot 24 = -48$.

$S_{25} = \frac{36 - 48}{2} \cdot 25$

3. Выполним вычитание в числителе: $36 - 48 = -12$.

$S_{25} = \frac{-12}{2} \cdot 25$

4. Разделим числитель на знаменатель: $-12 / 2 = -6$.

$S_{25} = -6 \cdot 25$

5. Выполним последнее умножение:

$S_{25} = -150$

Таким образом, сумма первых 25 членов данной арифметической прогрессии равна -150.

Проверка другим способом:

Можно сначала найти 25-й член прогрессии $a_{25}$ по формуле $n$-го члена $a_n = a_1 + d(n-1)$:

$a_{25} = 18 + (-2)(25-1) = 18 - 2 \cdot 24 = 18 - 48 = -30$

Затем использовать вторую формулу для суммы $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:

$S_{25} = \frac{18 + (-30)}{2} \cdot 25 = \frac{-12}{2} \cdot 25 = -6 \cdot 25 = -150$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: -150.

349 Найдите сумму первых пяти членов конечной геометрической прогрессии, если $b_1 = 6$, $q = 3$.

1) 726; 2) 729; 3) 240; 4) 243.

Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $b_1$ – первый член прогрессии, $q$ – знаменатель прогрессии, а $n$ – количество членов.

По условию задачи даны:
- первый член прогрессии $b_1 = 6$;
- знаменатель прогрессии $q = 3$;
- количество членов $n = 5$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти сумму первых пяти членов ($S_5$):

$S_5 = \frac{6(3^5 - 1)}{3 - 1}$

Сначала вычислим $3^5$:

$3^5 = 243$

Теперь подставим это значение в выражение для суммы:

$S_5 = \frac{6(243 - 1)}{3 - 1} = \frac{6 \times 242}{2}$

Выполним вычисления:

$S_5 = 3 \times 242 = 726$

Таким образом, сумма первых пяти членов данной геометрической прогрессии равна 726. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это ответ под номером 1.

Ответ: 726.

350 Найдите сумму первых четырёх членов конечной геометрической прогрессии, если $b_1 = \frac{5}{12}$, $q = \frac{1}{5}$.

1) $\frac{31}{60}$;

2) $0,52$;

3) $-0,52$;

4) $-\frac{31}{60}$.

Для нахождения суммы первых четырёх членов конечной геометрической прогрессии используется формула суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

где $b_1$ — это первый член прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — количество членов, сумму которых нужно найти.

В нашем случае даны следующие значения:

• $b_1 = \frac{5}{12}$
• $q = \frac{1}{5}$
• $n = 4$

Подставим эти значения в формулу для нахождения суммы $S_4$:

$S_4 = \frac{\frac{5}{12}(1 - (\frac{1}{5})^4)}{1 - \frac{1}{5}}$

Проведём вычисления по шагам.

1. Вычислим знаменатель основной дроби:

$1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

2. Вычислим числитель основной дроби. Сначала найдём $q^4$:

$q^4 = (\frac{1}{5})^4 = \frac{1}{625}$

Теперь вычислим выражение в скобках:

$1 - q^4 = 1 - \frac{1}{625} = \frac{625}{625} - \frac{1}{625} = \frac{624}{625}$

Наконец, умножим полученное значение на $b_1$:

$b_1(1 - q^4) = \frac{5}{12} \cdot \frac{624}{625} = \frac{5 \cdot 624}{12 \cdot 625}$

Сократим дробь:

$\frac{5 \cdot 624}{12 \cdot 625} = \frac{5 \cdot (12 \cdot 52)}{12 \cdot (5 \cdot 125)} = \frac{52}{125}$

3. Найдём итоговое значение $S_4$, разделив числитель на знаменатель:

$S_4 = \frac{\frac{52}{125}}{\frac{4}{5}} = \frac{52}{125} \cdot \frac{5}{4} = \frac{52 \cdot 5}{125 \cdot 4}$

Сократим и эту дробь:

$\frac{52 \cdot 5}{125 \cdot 4} = \frac{(13 \cdot 4) \cdot 5}{(25 \cdot 5) \cdot 4} = \frac{13}{25}$

Для сравнения с предложенными вариантами ответов переведём обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{13}{25} = \frac{13 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{52}{100} = 0,52$

Этот результат соответствует варианту ответа 2).

Ответ: $0,52$