Страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

389 Цена на товар была снижена на $10\%$, а затем повышена на $10\%$.

Как изменилась цена на товар?

1) Цена на товар осталась без изменения;

2) товар стал дороже на $0,1\%$;

3) товар стал дешевле на $0,01\%$;

4) товар стал дешевле на $1\%$.

Обозначим первоначальную цену товара переменной $x$.

1. Снижение цены
Цена была снижена на 10%. Чтобы найти новую цену, нужно вычесть 10% от $x$. Десять процентов от $x$ — это $0.1x$.
Новая цена после снижения: $x - 0.1x = 0.9x$.

2. Повышение цены
Затем цена была повышена на 10%. Важно учесть, что повышение на 10% рассчитывается от новой, уже сниженной цены ($0.9x$), а не от первоначальной ($x$).
Величина повышения составляет 10% от $0.9x$, то есть $0.1 \times 0.9x = 0.09x$.
Итоговая цена после повышения: $0.9x + 0.09x = 0.99x$.

3. Сравнение цен
Первоначальная цена была $x$ (что равно $1x$), а конечная цена стала $0.99x$.
Чтобы найти, как изменилась цена, вычтем конечную цену из начальной:
$x - 0.99x = 0.01x$.
Это означает, что цена уменьшилась на 0.01 от первоначальной. Чтобы выразить это в процентах, нужно умножить на 100:
$0.01 \times 100\% = 1\%$.

Таким образом, цена на товар стала дешевле на 1%.

Ответ: 4) товар стал дешевле на 1 %.

390 Цену на товар понизили на $20\%$. На сколько процентов необходимо повысить цену товара, чтобы она стала первоначальной?

Пусть первоначальная цена товара составляет $x$ условных единиц.

После понижения цены на $20\%$, новая цена товара будет равна $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной. Выразим это математически: $x_{новая} = x \times (1 - \frac{20}{100}) = x \times 0.8 = 0.8x$.

Теперь необходимо повысить новую цену ($0.8x$) до первоначального значения ($x$). В этом случае за $100\%$ мы принимаем новую цену, то есть $0.8x$.

Найдем, на какую величину нужно увеличить новую цену, чтобы она стала равна первоначальной: $x - 0.8x = 0.2x$.

Чтобы найти, какой процент ($p$) от новой цены составляет эта величина, составим пропорцию:
$0.8x$ — $100\%$
$0.2x$ — $p\%$

Решим пропорцию относительно $p$: $p = \frac{0.2x \times 100\%}{0.8x}$

Сократим $x$ в числителе и знаменателе: $p = \frac{0.2}{0.8} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$

Следовательно, чтобы вернуть цену к первоначальному значению, ее необходимо повысить на $25\%$.

Ответ: на 25%.

391 В первый день туристы прошли 30% всего пути, во второй день — 120% пути, пройденного в первый день, а в третий — остальные 34 км. Сколько километров составлял весь путь?

Для решения задачи представим весь путь в виде процентов и километров.

1. Путь в первый день.
Примем весь путь за 100%. В первый день туристы прошли 30% всего пути.

2. Путь во второй день.
Во второй день они прошли 120% от пути, пройденного в первый день. Найдем, какую долю от всего пути это составляет. Для этого нужно найти 120% от 30%. Переведем проценты в десятичные дроби ($120\% = 1.2$, $30\% = 0.3$) и перемножим их:
$1.2 \cdot 0.3 = 0.36$
Чтобы выразить это в процентах, умножим на 100:
$0.36 \cdot 100\% = 36\%$.
Таким образом, во второй день туристы прошли 36% всего пути.

3. Путь за два дня.
Суммарно за первые два дня туристы прошли:
$30\% + 36\% = 66\%$.

4. Путь в третий день.
Оставшаяся часть пути, которую туристы прошли в третий день, составляет:
$100\% - 66\% = 34\%$.

5. Нахождение общей длины пути.
Из условия известно, что в третий день туристы прошли 34 км. Мы выяснили, что это составляет 34% от всего пути. Таким образом, мы можем установить соответствие:
$34\% \text{ пути} = 34 \text{ км}$.
Отсюда следует, что $1\%$ пути равен $1$ км. Так как весь путь составляет 100%, его общая длина равна:
$100 \cdot 1 \text{ км} = 100 \text{ км}$.

Также можно было составить уравнение, обозначив весь путь за $x$:
$0.34x = 34$
$x = \frac{34}{0.34} = 100$ км.

Ответ: 100 км.

392 Руда содержит $72\%$ железа. Сколько тонн железа получится из $360 \text{ т}$ руды?

Чтобы найти, сколько тонн железа получится из 360 тонн руды, необходимо вычислить 72% от числа 360.

Для начала, представим проценты в виде десятичной дроби. Один процент — это одна сотая часть числа, поэтому для перевода процентов в дробь нужно разделить их на 100. $72\% = \frac{72}{100} = 0.72$

Далее, чтобы найти, какую массу составляет железо, умножим общую массу руды на полученную десятичную дробь. $360 \text{ т} \cdot 0.72 = 259.2 \text{ т}$

Таким образом, из 360 тонн руды, содержащей 72% железа, получится 259,2 тонны железа.

Ответ: 259,2 т

393 Рубашка дешевле пиджака на 80%, а пиджак дороже брюк на 100%. На сколько процентов рубашка дешевле брюк?

Для решения этой задачи введем переменные для обозначения цен каждого предмета одежды:

• Пусть $Р$ — цена рубашки.
• Пусть $П$ — цена пиджака.
• Пусть $Б$ — цена брюк.

Теперь переведем условия задачи в математические выражения.

1. Рубашка дешевле пиджака на 80%.

Это означает, что цена рубашки составляет $100\% - 80\% = 20\%$ от цены пиджака. Математически это можно записать так:

$Р = П \times (1 - \frac{80}{100}) = П \times 0.2$

2. Пиджак дороже брюк на 100%.

Это означает, что цена пиджака равна цене брюк плюс еще 100% от цены брюк, то есть цена пиджака в два раза выше цены брюк ($100\% + 100\% = 200\%$). Математически это выглядит так:

$П = Б \times (1 + \frac{100}{100}) = Б \times 2$

3. На сколько процентов рубашка дешевле брюк?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно выразить цену рубашки ($Р$) через цену брюк ($Б$). Для этого подставим выражение для $П$ из второго уравнения в первое:

$Р = 0.2 \times П = 0.2 \times (2 \times Б) = 0.4 \times Б$

Итак, мы выяснили, что цена рубашки составляет 40% от цены брюк.

Теперь найдем, на сколько процентов рубашка дешевле брюк. За 100% мы принимаем цену брюк ($Б$). Разница в ценах составляет:

$Б - Р = Б - 0.4 \times Б = 0.6 \times Б$

Чтобы выразить эту разницу в процентах относительно цены брюк, воспользуемся формулой:

$\frac{\text{Разница в цене}}{\text{Цена брюк}} \times 100\% = \frac{0.6 \times Б}{Б} \times 100\% = 0.6 \times 100\% = 60\%$

Таким образом, рубашка дешевле брюк на 60%.

Ответ: на 60%.

394 Сливки составляют $20\%$ всего молока, а сливочное масло — $25\%$ сливок. Сколько литров молока необходимо взять, чтобы получить 180 г сливочного масла? (Масса 1 л молока равна 1 кг.)

Для решения этой задачи необходимо выполнить вычисления в обратном порядке: от известной массы сливочного масла к массе сливок, а затем к массе и объему молока.

1. Расчет необходимой массы сливок

По условию, сливочное масло составляет $25\%$ от массы сливок. Это означает, что $180 \text{ г}$ масла — это $25\%$ (или $0,25$ в виде десятичной дроби) от необходимого количества сливок. Чтобы найти общую массу сливок, нужно массу масла разделить на долю, которую оно составляет:

Масса сливок = $\frac{180 \text{ г}}{0,25} = 180 \times 4 = 720 \text{ г}$.

Таким образом, для получения $180 \text{ г}$ масла необходимо взять $720 \text{ г}$ сливок.

2. Расчет необходимой массы молока

Далее, известно, что сливки составляют $20\%$ от всего молока. Мы уже рассчитали, что нам нужно $720 \text{ г}$ сливок. Теперь найдем массу молока, из которой можно получить это количество сливок. $720 \text{ г}$ сливок — это $20\%$ (или $0,20$) от массы молока.

Масса молока = $\frac{720 \text{ г}}{0,20} = 720 \times 5 = 3600 \text{ г}$.

Следовательно, нам потребуется $3600 \text{ г}$ молока.

3. Перевод массы молока в объем

Вопрос требует дать ответ в литрах. Сначала переведем массу молока из граммов в килограммы, зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$:

$3600 \text{ г} = 3,6 \text{ кг}$.

Согласно условию, масса $1 \text{ л}$ молока равна $1 \text{ кг}$. Это означает, что масса молока в килограммах численно равна его объему в литрах.

Таким образом, $3,6 \text{ кг}$ молока соответствуют $3,6 \text{ л}$ молока.

Ответ: 3,6 л.

395 К 180 г воды добавили 20 г соли. Определите процентное содержание соли в полученном растворе.

Для определения процентного содержания соли в растворе (также известного как массовая доля вещества в растворе) необходимо рассчитать отношение массы растворенного вещества (соли) к общей массе раствора, а затем умножить результат на 100%.

1. Найдем общую массу раствора. Масса раствора складывается из массы растворителя (воды) и массы растворенного вещества (соли).

Дано:
Масса воды ($m_{воды}$) = 180 г
Масса соли ($m_{соли}$) = 20 г

Общая масса раствора ($m_{раствора}$) вычисляется по формуле:
$m_{раствора} = m_{воды} + m_{соли}$
$m_{раствора} = 180 \text{ г} + 20 \text{ г} = 200 \text{ г}$

2. Определим процентное содержание соли. Процентное содержание (массовая доля, $\omega$) вычисляется по формуле:

$\omega(\text{соли}) = \frac{m_{соли}}{m_{раствора}} \times 100\%$

Подставляем известные значения в формулу:

$\omega(\text{соли}) = \frac{20 \text{ г}}{200 \text{ г}} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\%$

Ответ: 10%.

396 Кинетическая энергия вычисляется по формуле $E = \frac{mv^2}{2}$. Выразите из этой формулы скорость $v$.

1) $v = \sqrt{\frac{E}{2m}}$;

2) $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$;

3) $v = \sqrt{\frac{2m}{E}}$;

4) $v = \left(\frac{2E}{m}\right)^2$.

Чтобы выразить скорость $v$ из формулы кинетической энергии $E = \frac{mv^2}{2}$, необходимо выполнить последовательные алгебраические преобразования для изоляции переменной $v$.

1. Начнем с исходной формулы:
$E = \frac{mv^2}{2}$

2. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:
$2 \cdot E = 2 \cdot \frac{mv^2}{2}$
$2E = mv^2$

3. Теперь разделим обе части уравнения на массу $m$, чтобы выразить $v^2$:
$\frac{2E}{m} = \frac{mv^2}{m}$
$v^2 = \frac{2E}{m}$

4. В завершение, чтобы найти скорость $v$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как скорость по физическому смыслу не может быть отрицательной, мы берем только положительное значение (арифметический корень):
$\sqrt{v^2} = \sqrt{\frac{2E}{m}}$
$v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$

Полученное выражение для скорости $v$ совпадает с вариантом ответа под номером 2.

Ответ: 2) $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$

397 При равноускоренном движении ускорение вычисляется по формуле $a = \frac{v - v_0}{t}$. Выразите из этой формулы начальную скорость $v_0$.

1) $v_0 = at - v$;

2) $v_0 = \frac{v}{t} - a$;

3) $v_0 = v - at$;

4) $v_0 = v + at$.

Для того чтобы выразить начальную скорость $v_0$ из формулы для ускорения, необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования.

Исходная формула имеет вид: $a = \frac{v - v_0}{t}$

Сначала умножим обе части уравнения на $t$, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:

$a \cdot t = \left(\frac{v - v_0}{t}\right) \cdot t$

После упрощения уравнение примет вид:

$at = v - v_0$

Теперь необходимо выразить $v_0$. Для этого перенесём член $-v_0$ в левую часть уравнения, а произведение $at$ — в правую часть. При переносе членов уравнения через знак равенства их знаки меняются на противоположные.

$v_0 = v - at$

Полученное выражение для начальной скорости $v_0$ полностью совпадает с вариантом ответа под номером 3.

Ответ: 3) $v_0 = v - at$