Номер 351, страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

351 Найдите восьмой член арифметической прогрессии $(a_n)$, если

$a_7 + a_9 = 0,18.$

1) 0,36;

2) 0,18;

3) 0,09;

4) 0,9.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством арифметической прогрессии. Согласно этому свойству, любой член прогрессии $a_n$ (начиная со второго) является средним арифметическим двух членов, равноудаленных от него, например, предыдущего и последующего.

В общем виде это свойство для членов $a_{n-k}$ и $a_{n+k}$, равноудаленных от $a_n$, можно записать так:

$a_n = \frac{a_{n-k} + a_{n+k}}{2}$

В нашей задаче требуется найти восьмой член прогрессии, $a_8$. Члены прогрессии $a_7$ и $a_9$ как раз являются соседними для $a_8$ (здесь $n=8$ и $k=1$). Следовательно, $a_8$ является их средним арифметическим:

$a_8 = \frac{a_7 + a_9}{2}$

По условию задачи нам известно, что сумма седьмого и девятого членов равна 0,18:

$a_7 + a_9 = 0,18$

Подставим это значение в формулу для $a_8$:

$a_8 = \frac{0,18}{2} = 0,09$

Таким образом, восьмой член арифметической прогрессии равен 0,09.

Альтернативный способ:
Можно использовать формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ - первый член, а $d$ - разность прогрессии.
$a_7 = a_1 + 6d$
$a_9 = a_1 + 8d$
Их сумма: $a_7 + a_9 = (a_1 + 6d) + (a_1 + 8d) = 2a_1 + 14d = 0,18$.
Вынесем 2 за скобку: $2(a_1 + 7d) = 0,18$.
Заметим, что $a_8 = a_1 + 7d$.
Следовательно, $2a_8 = 0,18$, откуда $a_8 = 0,09$.

Среди предложенных вариантов ответа (1) 0,36; 2) 0,18; 3) 0,09; 4) 0,9) верным является вариант под номером 3.

Ответ: 0,09.