Номер 352, страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

352 Найдите девятнадцатый член арифметической прогрессии ($a_n$),

если $a_{14} + a_{24} = -\frac{4}{5}$.

1) $-\frac{4}{5}$;

2) $-\frac{2}{5}$;

3) $-\frac{8}{5}$;

4) $-\frac{1}{5}$.

Для решения этой задачи можно применить свойство арифметической прогрессии или воспользоваться общей формулой n-го члена. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Использование свойства среднего члена арифметической прогрессии

Ключевое свойство арифметической прогрессии гласит, что любой член прогрессии является средним арифметическим равноотстоящих от него членов. Формально, для любых членов $a_k$ и $a_n$, член $a_m$, индекс которого $m$ является средним арифметическим их индексов ($m = \frac{k+n}{2}$), равен их среднему арифметическому:
$ a_m = \frac{a_k + a_n}{2} $, или $ 2a_m = a_k + a_n $.

В нашей задаче даны члены $a_{14}$ и $a_{24}$, а найти нужно $a_{19}$. Проверим, является ли индекс 19 средним арифметическим для индексов 14 и 24:
$ \frac{14 + 24}{2} = \frac{38}{2} = 19 $

Так как условие выполняется, мы можем применить это свойство:
$ a_{14} + a_{24} = 2a_{19} $

Согласно условию задачи, $ a_{14} + a_{24} = -\frac{4}{5} $. Подставим это значение в формулу:
$ 2a_{19} = -\frac{4}{5} $

Чтобы найти $a_{19}$, разделим обе части уравнения на 2:
$ a_{19} = \frac{-\frac{4}{5}}{2} = -\frac{4}{5 \cdot 2} = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5} $

Способ 2: Использование общей формулы n-го члена

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Выразим $a_{14}$ и $a_{24}$ через эту формулу:
$ a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d $
$ a_{24} = a_1 + (24-1)d = a_1 + 23d $

Теперь подставим эти выражения в данное в условии равенство $a_{14} + a_{24} = -\frac{4}{5}$:
$ (a_1 + 13d) + (a_1 + 23d) = -\frac{4}{5} $
Приведем подобные слагаемые:
$ 2a_1 + 36d = -\frac{4}{5} $

Нам нужно найти $a_{19}$. Выразим его также через общую формулу:
$ a_{19} = a_1 + (19-1)d = a_1 + 18d $

Сравним выражение для $a_{19}$ с полученным ранее уравнением $2a_1 + 36d = -\frac{4}{5}$. Если вынести 2 за скобки в левой части уравнения, получим:
$ 2(a_1 + 18d) = -\frac{4}{5} $

Заметим, что выражение в скобках, $a_1 + 18d$, и есть искомый член $a_{19}$. Таким образом, мы можем переписать уравнение как:
$ 2a_{19} = -\frac{4}{5} $

Разделив обе части на 2, снова получаем тот же результат:
$ a_{19} = -\frac{2}{5} $

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Искомый девятнадцатый член прогрессии равен $-\frac{2}{5}$, что соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $-\frac{2}{5}$