Номер 8, страница 201, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Почему сумма частот всех вариант измерения всегда равна единице?

Вопрос касается относительных частот, так как именно их сумма всегда равна единице. Сумма же абсолютных частот равна общему числу всех измерений. Разберем это подробно.

В статистике при анализе результатов измерений (или наблюдений) используются следующие понятия:

• Варианта – это один из возможных результатов (значений), который может быть получен в ходе измерения. Например, при подбрасывании кубика варианты – это числа 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Абсолютная частота ($n_i$) – это число, которое показывает, сколько раз конкретная варианта ($x_i$) встретилась в серии измерений.
• Общее число измерений ($N$) – это общее количество всех проведенных измерений. Оно равно сумме абсолютных частот всех без исключения вариант: $N = n_1 + n_2 + \dots + n_k$, где $k$ – количество различных вариант.
• Относительная частота ($W_i$) – это отношение абсолютной частоты варианты к общему числу измерений. Относительная частота показывает, какую долю или часть от общего числа измерений составляет данная варианта. Она вычисляется по формуле:
  $W_i = \frac{n_i}{N}$

Теперь докажем, почему сумма относительных частот всех вариант всегда равна единице.

Пусть у нас есть $k$ различных вариант ($x_1, x_2, \dots, x_k$) с соответствующими абсолютными частотами ($n_1, n_2, \dots, n_k$) и относительными частотами ($W_1, W_2, \dots, W_k$).

Сумма относительных частот всех этих вариант записывается как:
$\sum W_i = W_1 + W_2 + \dots + W_k$

Подставим в это выражение формулу для каждой относительной частоты:
$\sum W_i = \frac{n_1}{N} + \frac{n_2}{N} + \dots + \frac{n_k}{N}$

Так как у всех слагаемых общий знаменатель $N$, мы можем сложить их числители:
$\sum W_i = \frac{n_1 + n_2 + \dots + n_k}{N}$

Как мы определили ранее, сумма абсолютных частот всех вариант ($n_1 + n_2 + \dots + n_k$) по определению равна общему числу измерений $N$.

Следовательно, мы можем заменить числитель в нашей дроби на $N$:
$\sum W_i = \frac{N}{N}$

Любое число (кроме нуля), деленное само на себя, равно единице.
$\sum W_i = 1$

Таким образом, сумма относительных частот всех возможных исходов всегда равна 1, что логично, так как она представляет собой сумму долей, составляющих одно целое (100% всех измерений).

Пример: Предположим, мы провели опрос 50 студентов об их оценках за экзамен. Результаты таковы:

• Оценка «5»: 10 студентов (абсолютная частота $n_1=10$)
• Оценка «4»: 25 студентов (абсолютная частота $n_2=25$)
• Оценка «3»: 15 студентов (абсолютная частота $n_3=15$)

Общее число измерений (студентов): $N = 10 + 25 + 15 = 50$.

Найдем относительные частоты:

• $W_1$ (оценка «5») = $\frac{10}{50} = 0.2$
• $W_2$ (оценка «4») = $\frac{25}{50} = 0.5$
• $W_3$ (оценка «3») = $\frac{15}{50} = 0.3$

Просуммируем относительные частоты:
$W_1 + W_2 + W_3 = 0.2 + 0.5 + 0.3 = 1.0$

Сумма равна единице, что и требовалось показать.

Ответ: Сумма частот (правильнее говорить, относительных частот) всех вариант измерения всегда равна единице, потому что она представляет собой сумму долей всех возможных результатов. Каждая относительная частота — это доля конкретного результата в общем числе измерений ($W_i = n_i/N$). Суммирование всех этих долей эквивалентно сложению всех частей, составляющих единое целое. Математически это объясняется тем, что сумма относительных частот представляет собой дробь, в числителе которой находится сумма абсолютных частот всех вариант (что равно общему числу измерений $N$), а в знаменателе — то же самое общее число измерений $N$. В результате получается $\frac{N}{N} = 1$.