Номер 15, страница 201, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

15. Что такое дисперсия распределения данных?

Определение дисперсии

Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние) — это мера разброса или изменчивости данных в статистике и теории вероятностей. Она показывает, насколько сильно значения в наборе данных отклоняются от своего среднего значения. Иными словами, дисперсия — это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от их средней величины.

Зачем нужна дисперсия?

Дисперсия позволяет количественно оценить, насколько «скученно» или «разбросанно» расположены данные.
- Низкая дисперсия (близкая к нулю) означает, что все значения в наборе данных очень близки друг к другу и к среднему значению. Распределение данных является «узким».
- Высокая дисперсия означает, что значения сильно разбросаны относительно среднего. Распределение данных является «широким».
Например, если мы измеряем рост учеников в одном классе, дисперсия будет относительно небольшой. Если же мы измеряем рост всех жителей города (включая детей и взрослых), дисперсия будет значительно выше.

Формула для расчета дисперсии

Формула зависит от того, работаем ли мы со всей генеральной совокупностью (всеми возможными данными) или только с выборкой из нее.

Дисперсия для генеральной совокупности

Обозначается как $\sigma^2$ (сигма в квадрате) и рассчитывается по формуле:

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}{N}$

где:
$\sigma^2$ — дисперсия генеральной совокупности;
$x_i$ — каждое отдельное значение в совокупности;
$\mu$ (мю) — математическое ожидание (среднее значение) генеральной совокупности;
$N$ — объем генеральной совокупности (количество всех значений).

Дисперсия для выборки (выборочная дисперсия)

На практике мы чаще всего имеем дело с выборкой, а не со всей совокупностью. В этом случае используется так называемая несмещенная выборочная дисперсия, которая обозначается как $s^2$:

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

где:
$s^2$ — выборочная дисперсия;
$x_i$ — каждое отдельное значение в выборке;
$\bar{x}$ — среднее арифметическое выборки;
$n$ — объем выборки (количество значений в ней);
$n-1$ — число степеней свободы. Деление на $n-1$ вместо $n$ (поправка Бесселя) делается для того, чтобы оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке была более точной (несмещенной).

Пример расчета выборочной дисперсии

Рассмотрим набор данных (например, оценки студентов): {3, 4, 5, 5, 8}.

Шаг 1. Найдем среднее арифметическое выборки ($\bar{x}$):
$\bar{x} = \frac{3 + 4 + 5 + 5 + 8}{5} = \frac{25}{5} = 5$

Шаг 2. Вычислим отклонение каждого значения от среднего ($x_i - \bar{x}$):
$3 - 5 = -2$
$4 - 5 = -1$
$5 - 5 = 0$
$5 - 5 = 0$
$8 - 5 = 3$

Шаг 3. Возведем каждое отклонение в квадрат ($(x_i - \bar{x})^2$):
$(-2)^2 = 4$
$(-1)^2 = 1$
$0^2 = 0$
$0^2 = 0$
$3^2 = 9$

Шаг 4. Суммируем квадраты отклонений:
$\sum(x_i - \bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 0 + 9 = 14$

Шаг 5. Разделим сумму на $n-1$:
$s^2 = \frac{14}{5-1} = \frac{14}{4} = 3.5$

Таким образом, выборочная дисперсия для данного набора данных равна 3.5.

Свойства и связь со стандартным отклонением

Дисперсия обладает несколькими важными свойствами:
- Она всегда неотрицательна ($s^2 \ge 0$).
- Основной недостаток дисперсии в том, что ее единица измерения — это квадрат единицы измерения исходных данных (например, если рост измерялся в сантиметрах, то дисперсия будет в квадратных сантиметрах), что затрудняет интуитивную интерпретацию.
- Для решения этой проблемы используют стандартное (среднеквадратическое) отклонение, которое является квадратным корнем из дисперсии: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ или $s = \sqrt{s^2}$. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и исходные данные, и поэтому является более наглядной мерой разброса. В нашем примере стандартное отклонение будет $s = \sqrt{3.5} \approx 1.87$.

Ответ: Дисперсия — это ключевая статистическая мера, которая количественно описывает степень разброса или вариативности данных относительно их среднего значения. Она рассчитывается как среднее значение квадратов отклонений от среднего. Большое значение дисперсии указывает на то, что данные сильно разбросаны, а малое — на то, что они сгруппированы близко к среднему.