Страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

274 Решите неравенство:

a) $ \frac{x^2 - 7x + 6}{x - 1} \le 0. $

б) $ \frac{x^2 - 5x - 6}{6 - x} \le 0. $

а) $ \frac{x^2 - 7x + 6}{x - 1} \le 0 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$ x - 1 \ne 0 \implies x \ne 1 $.

2. Найдем нули числителя. Для этого решим квадратное уравнение:
$ x^2 - 7x + 6 = 0 $.
Используя теорему Виета, находим корни:
$ x_1 + x_2 = 7 $
$ x_1 \cdot x_2 = 6 $
Отсюда $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 6 $.

3. Разложим числитель на множители, используя найденные корни:
$ x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) $.

4. Подставим разложение в исходное неравенство:
$ \frac{(x - 1)(x - 6)}{x - 1} \le 0 $.

5. Учитывая ОДЗ ($ x \ne 1 $), мы можем сократить дробь на множитель $ (x - 1) $. Неравенство принимает вид:
$ x - 6 \le 0 $.

6. Решаем полученное простое линейное неравенство:
$ x \le 6 $.

7. Теперь необходимо совместить полученное решение с ОДЗ. Мы имеем $ x \le 6 $ и $ x \ne 1 $. Исключаем точку 1 из решения.

Ответ: $ x \in (-\infty; 1) \cup (1; 6] $.

б) $ \frac{x^2 - 5x - 6}{6 - x} \le 0 $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$ 6 - x \ne 0 \implies x \ne 6 $.

2. Найдем нули числителя, решив квадратное уравнение:
$ x^2 - 5x - 6 = 0 $.
Используя теорему Виета, находим корни:
$ x_1 + x_2 = 5 $
$ x_1 \cdot x_2 = -6 $
Отсюда $ x_1 = 6 $ и $ x_2 = -1 $.

3. Разложим числитель на множители:
$ x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1) $.

4. Подставим разложение в неравенство:
$ \frac{(x - 6)(x + 1)}{6 - x} \le 0 $.

5. Для удобства преобразуем знаменатель, вынеся за скобки -1: $ 6 - x = -(x - 6) $.
Неравенство примет вид:
$ \frac{(x - 6)(x + 1)}{-(x - 6)} \le 0 $.

6. Согласно ОДЗ, $ x \ne 6 $, поэтому мы можем сократить дробь на $ (x - 6) $:
$ \frac{x + 1}{-1} \le 0 $.

7. Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$ x + 1 \ge 0 $.

8. Решим полученное неравенство:
$ x \ge -1 $.

9. Совместим решение с ОДЗ: $ x \ge -1 $ и $ x \ne 6 $. Это означает, что из промежутка $ [-1; \infty) $ нужно исключить точку 6.

Ответ: $ x \in [-1; 6) \cup (6; \infty) $.

275 а) При каких значениях переменной выражение $\sqrt{56x + 7}$ имеет смысл?

б) При каких значениях переменной выражение $\frac{1}{\sqrt{5x - 2}}$ имеет смысл?

а) Выражение $\sqrt{56x} + 7$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Это связано с тем, что в области действительных чисел квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел. Слагаемое $7$ не влияет на область допустимых значений переменной $x$.

Составим и решим неравенство:

$56x \geq 0$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на $56$. Так как $56$ — положительное число, знак неравенства не изменится:

$x \geq \frac{0}{56}$

$x \geq 0$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех неотрицательных значениях $x$.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

б) Чтобы выражение $\frac{1}{\sqrt{5x} - 2}$ имело смысл, должны одновременно выполняться два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$5x \geq 0$

Разделив обе части на $5$, получаем:

$x \geq 0$

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как деление на ноль не определено:

$\sqrt{5x} - 2 \neq 0$

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, решив соответствующее уравнение:

$\sqrt{5x} - 2 = 0$

$\sqrt{5x} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{5x})^2 = 2^2$

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5}$

Значит, значение $x = \frac{4}{5}$ нужно исключить из области допустимых значений.

Объединяем оба условия: $x$ должен быть больше или равен нулю, но при этом не равен $\frac{4}{5}$.

Ответ: $x \in [0; \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}; +\infty)$.

276 a) При каких значениях переменной выражение $ \sqrt{x^2 + 6x} $ имеет смысл?

б) При каких значениях переменной выражение $ \sqrt{\frac{2}{x^2 - 36}} $ имеет смысл?

а) Выражение $\sqrt{x^2 + 6x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Для нахождения значений переменной $x$ необходимо решить неравенство:

$x^2 + 6x \ge 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 6) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$.

Графиком функции $y = x^2 + 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Парабола принимает неотрицательные значения на промежутках, где она расположена выше или на оси абсцисс. Это происходит левее меньшего корня (включая его) и правее большего корня (включая его).

Таким образом, решение неравенства имеет вид: $x \le -6$ или $x \ge 0$.

В виде промежутка это записывается как $x \in (-\infty; -6] \cup [0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [0; +\infty)$.

б) Выражение $\sqrt{\frac{2}{x^2 - 36}}$ имеет смысл, когда выполняются два условия одновременно:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{2}{x^2 - 36} \ge 0$.
2. Знаменатель дроби, находящейся под корнем, не должен быть равен нулю: $x^2 - 36 \ne 0$.

Рассмотрим первое условие. В дроби $\frac{2}{x^2 - 36}$ числитель равен 2, то есть является положительным числом. Чтобы вся дробь была положительной, ее знаменатель также должен быть строго положительным.

$x^2 - 36 > 0$

Это строгое неравенство автоматически обеспечивает выполнение и второго условия (знаменатель не равен нулю). Решим полученное неравенство:

$x^2 > 36$

Это неравенство выполняется, когда $|x| > 6$, то есть когда $x > 6$ или $x < -6$.

В виде промежутка это записывается как $x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$.

277 a) Найдите область определения функции $y = \sqrt{5x} + 1$.

б) Найдите область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{5x} - 2}$.

а)

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция $y = \sqrt{5x} + 1$ содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю. Слагаемое $+1$ не накладывает никаких ограничений на область определения.

Составим и решим неравенство:

$5x \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x \ge 0$

Таким образом, область определения функции — это все числа $x$, которые больше или равны нулю. В виде числового промежутка это записывается как $[0, +\infty)$.

Ответ: $[0, +\infty)$.

б)

В функции $y = \frac{1}{\sqrt{5x} - 2}$ есть два условия, которые должны выполняться одновременно:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $5x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{5x} - 2 \neq 0$.

Объединим эти условия в систему:

$\begin{cases} 5x \ge 0 \\ \sqrt{5x} - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$5x \ge 0$

$x \ge 0$

Решим второе условие (неравенство):

$\sqrt{5x} - 2 \neq 0$

$\sqrt{5x} \neq 2$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{5x})^2 \neq 2^2$

$5x \neq 4$

$x \neq \frac{4}{5}$

Итак, мы получили, что $x$ должен быть больше или равен нулю, но при этом не должен быть равен $\frac{4}{5}$. Исключаем точку $x = \frac{4}{5}$ из промежутка $[0, +\infty)$. В результате получаем объединение двух промежутков.

Ответ: $[0, \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, +\infty)$.

278 а) Найдите область определения функции $y = \sqrt{225 - x^2}$.

б) найдите область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 49}$.

a) Область определения функции — это множество всех значений переменной $x$, при которых выражение, стоящее под знаком квадратного корня, является неотрицательным. Для функции $y = \sqrt{225 - x^2}$ должно выполняться условие:
$225 - x^2 \ge 0$
Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $225 - x^2 = 0$.
$x^2 = 225$
$x_1 = -\sqrt{225} = -15$
$x_2 = \sqrt{225} = 15$
Графиком функции $f(x) = 225 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (т.к. коэффициент при $x^2$ отрицательный). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутке между корнями. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни включаются в решение.
Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, принадлежащие отрезку $[-15; 15]$.
Ответ: $[-15; 15]$.

б) Аналогично предыдущему заданию, область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 49}$ находится из условия неотрицательности подкоренного выражения:
$x^2 - 49 \ge 0$
Разложим левую часть неравенства на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 7)(x + 7) \ge 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 7)(x + 7) = 0$.
$x_1 = -7$, $x_2 = 7$
Графиком функции $f(x) = x^2 - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $x^2$ положительный). Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутках вне интервала между корнями. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни включаются в решение.
Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -7]$ и $[7; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -7] \cup [7; +\infty)$.

279 a) Найдите область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 6x - 7}$.

б) найдите область определения функции $y = \sqrt{8 + 2x - x^2}$.

а)

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 6x - 7}$ состоит из всех значений $x$, для которых выражение под знаком квадратного корня является неотрицательным. Запишем и решим соответствующее неравенство:

$x^2 - 6x - 7 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = 7$

Графиком функции $f(x) = x^2 - 6x - 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни. Таким образом, решение неравенства $x^2 - 6x - 7 \ge 0$ — это объединение промежутков $(-\infty, -1]$ и $[7, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup [7, +\infty)$.

б)

Область определения функции $y = \sqrt{8 + 2x - x^2}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$8 + 2x - x^2 \ge 0$

Для решения неравенства найдем корни квадратного трехчлена $8 + 2x - x^2$, решив уравнение:

$8 + 2x - x^2 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства вычислений:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

Графиком функции $f(x) = 8 + 2x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1 < 0$). Это означает, что квадратный трехчлен принимает неотрицательные значения на промежутке между его корнями, включая сами корни.

Таким образом, область определения функции — это отрезок от $-2$ до $4$.

Ответ: $[-2, 4]$.

280 Решите систему неравенств

$$\begin{cases} 16x - 96 \le 0, \\ 10 - 5x \le 0. \end{cases}$$

1) $2 \le x \le 6;$

2) $x \le 6;$

3) $x \ge 2;$

4) $x \le 2.$

Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Исходная система:

$$ \begin{cases} 16x - 96 \le 0, \\ 10 - 5x \le 0. \end{cases} $$

Решение первого неравенства

Решим первое неравенство $16x - 96 \le 0$.

Перенесем свободный член $-96$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$16x \le 96$

Разделим обе части неравенства на положительное число $16$. Знак неравенства при этом не меняется:

$x \le \frac{96}{16}$

$x \le 6$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 6]$.

Решение второго неравенства

Решим второе неравенство $10 - 5x \le 0$.

Перенесем $10$ в правую часть с противоположным знаком:

$-5x \le -10$

Разделим обе части неравенства на отрицательное число $-5$. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с $\le$ на $\ge$):

$x \ge \frac{-10}{-5}$

$x \ge 2$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $[2; +\infty)$.

Нахождение решения системы

Решением системы является пересечение полученных множеств решений: $x \le 6$ и $x \ge 2$.

Это означает, что $x$ должен быть одновременно больше или равен $2$ и меньше или равен $6$.

Запишем это в виде двойного неравенства:

$2 \le x \le 6$

Данное решение соответствует числовому промежутку $[2; 6]$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: $2 \le x \le 6$.

281 Укажите геометрическую модель решения системы неравенств

$$\begin{cases}14x - 70 \geq 0, \\9 - 3x < 0.\end{cases}$$

1) A number line with an open circle at 3 and shading to the left.

2) A number line with a closed circle at 5 and shading to the right.

3) A number line with an open circle at 3, a closed circle at 5, and shading to the right of 3.

4) A number line with an open circle at 3, a closed circle at 5, and shading to the left of 3 and to the right of 5.

Для того чтобы найти геометрическую модель решения системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство в системе и затем найти пересечение (общую часть) их решений на числовой оси.

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} 14x - 70 \ge 0, \\ 9 - 3x < 0. \end{cases} $$

Решение первого неравенства:
$14x - 70 \ge 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$14x \ge 70$
Разделим обе части на 14:
$x \ge \frac{70}{14}$
$x \ge 5$
Решение этого неравенства — все числа, большие или равные 5. На числовой прямой это изображается закрашенной точкой в 5 и штриховкой вправо от нее.

Решение второго неравенства:
$9 - 3x < 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$-3x < -9$
Разделим обе части на -3. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{-9}{-3}$
$x > 3$
Решение этого неравенства — все числа, строго большие 3. На числовой прямой это изображается выколотой (незакрашенной) точкой в 3 и штриховкой вправо от нее.

Поиск пересечения решений:
Теперь нам нужно найти множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \ge 5$ и $x > 3$.
Если изобразить оба решения на одной числовой оси, мы увидим, что общая заштрихованная область начинается от 5 и идет вправо, в бесконечность. Поскольку точка 5 удовлетворяет обоим неравенствам ($5 \ge 5$ и $5 > 3$), она включается в решение.
Таким образом, решением системы является промежуток $[5, +\infty)$.

Геометрическая модель этого решения представлена на рисунке 2: закрашенная точка на отметке 5 и заштрихованная область справа от нее.

Ответ: 2

282 Решите систему неравенств $ \begin{cases} 15x + 60 < 0, \\ -42 - 6x \ge 0. \end{cases} $

1) $-7 \le x < -4;$

2) $x < -4;$

3) решений нет;

4) $x \le -7.$

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решим первое неравенство системы:

$15x + 60 < 0$
Перенесем слагаемое 60 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:
$15x < -60$
Разделим обе части неравенства на 15. Так как 15 — положительное число, знак неравенства сохраняется:
$x < \frac{-60}{15}$
$x < -4$

Решим второе неравенство системы:

$-42 - 6x \ge 0$
Перенесем слагаемое -42 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:
$-6x \ge 42$
Разделим обе части неравенства на -6. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с $\ge$ на $\le$):
$x \le \frac{42}{-6}$
$x \le -7$

Найдем решение системы:

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Мы получили два условия: $x < -4$ и $x \le -7$.
Найдем общую часть этих двух решений. Для этого можно представить их на числовой оси. Все числа, которые меньше или равны -7, также являются и числами, которые меньше -4. Следовательно, пересечением этих двух множеств будет множество $x \le -7$.
Это решение соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) $x \le -7$.