Страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

255 Укажите геометрическую модель решения неравенства

$7x^2 - 9x + 2 \leq 0$.

1) Числовая прямая с точками $ \frac{2}{7} $ и $ 1 $. Заштрихованные области: $ x \leq \frac{2}{7} $ или $ x \geq 1 $. Переменная: $ x $.

2) Числовая прямая с точками $ \frac{2}{7} $ и $ 1 $. Заштрихованная область: $ \frac{2}{7} \leq x \leq 1 $. Переменная: $ x $.

3) Числовая прямая с точками $ \frac{4}{7} $ и $ 2 $. Заштрихованные области: $ x \leq \frac{4}{7} $ или $ x \geq 2 $. Переменная: $ x $.

4) Числовая прямая с точками $ \frac{4}{7} $ и $ 2 $. Заштрихованная область: $ \frac{4}{7} \leq x \leq 2 $. Переменная: $ x $.

Чтобы указать геометрическую модель решения неравенства $7x^2 - 9x + 2 \le 0$, необходимо сначала решить это неравенство. Это квадратичное неравенство, которое решается методом интервалов.

1. Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 - 9x + 2 = 0$. Для этого вычислим дискриминант.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=7$, $b=-9$, $c=2$.

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9) - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 - 5}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

$x_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 + 5}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Корни уравнения: $\frac{2}{7}$ и $1$.

2. Определим знак выражения $7x^2 - 9x + 2$ на интервалах. Графиком функции $y = 7x^2 - 9x + 2$ является парабола. Так как старший коэффициент $a = 7$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = \frac{2}{7}$ и $x = 1$. Поскольку ветви направлены вверх, значения функции будут отрицательны ($y < 0$) на интервале между корнями и положительны ($y > 0$) вне этого интервала.

3. Найдём решение неравенства. Нас интересуют значения $x$, при которых $7x^2 - 9x + 2 \le 0$. Это означает, что мы ищем промежуток, где парабола находится ниже оси $x$ или на ней. Это соответствует отрезку между корнями, включая сами корни, так как неравенство нестрогое.

Следовательно, решение неравенства — это отрезок $[\frac{2}{7}; 1]$.

4. Сравним полученное решение с предложенными на рисунках геометрическими моделями.

Модель под номером 2 показывает числовую ось, на которой заштрихован промежуток между точками $\frac{2}{7}$ и $1$. Точки закрашены, что соответствует нестрогому неравенству. Эта модель полностью совпадает с найденным решением.

Ответ: 2

256 Укажите геометрическую модель решения неравенства $-2x^2 + 9x - 7 < 0.$

1) Числовая прямая с выколотыми точками 1 и 3,5. Заштрихован интервал между 1 и 3,5. Ось x.

2) Числовая прямая с выколотыми точками 2 и 7. Заштрихован интервал между 2 и 7. Ось x.

3) Числовая прямая с выколотыми точками 2 и 7. Заштрихованы интервалы левее 2 и правее 7. Ось x.

4) Числовая прямая с выколотыми точками 1 и 3,5. Заштрихованы интервалы левее 1 и правее 3,5. Ось x.

Для решения квадратного неравенства $-2x^2 + 9x - 7 < 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-2x^2 + 9x - 7 = 0$.

1. Нахождение корней квадратного уравнения

Решим уравнение $-2x^2 + 9x - 7 = 0$. Для удобства умножим обе части уравнения на $-1$:

$2x^2 - 9x + 7 = 0$

Теперь найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=2$, $b=-9$, $c=7$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = 3,5$

Корни уравнения равны 1 и 3,5.

2. Определение знаков квадратного трехчлена

Рассмотрим функцию $y = -2x^2 + 9x - 7$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -2$ отрицателен. Парабола пересекает ось абсцисс (ось $x$) в точках $x = 1$ и $x = 3,5$.

Нас интересует, где значения функции меньше нуля, то есть $-2x^2 + 9x - 7 < 0$. Это происходит на тех участках, где график параболы расположен ниже оси $x$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, она принимает отрицательные значения за пределами интервала между корнями.

Таким образом, решением неравенства являются промежутки $x < 1$ и $x > 3,5$. В виде объединения интервалов это записывается как $x \in (-\infty; 1) \cup (3,5; \infty)$.

3. Выбор геометрической модели

Теперь сравним полученное решение с предложенными вариантами:

• В вариантах 1 и 4 отмечены точки 1 и 3,5.
• В вариантах 2 и 3 отмечены точки 2 и 7, что не соответствует корням нашего уравнения.

Рассмотрим варианты 1 и 4:

• Вариант 1 представляет интервал $(1; 3,5)$, что является решением неравенства $-2x^2 + 9x - 7 > 0$.
• Вариант 4 представляет объединение интервалов $(-\infty; 1) \cup (3,5; \infty)$, что полностью соответствует нашему решению. Точки 1 и 3,5 выколоты (показаны пустыми кружками), так как неравенство строгое (<, а не $\le$).

Следовательно, правильная геометрическая модель представлена на рисунке 4.

Ответ: 4