Номер 255, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

255 Укажите геометрическую модель решения неравенства

$7x^2 - 9x + 2 \leq 0$.

1) Числовая прямая с точками $ \frac{2}{7} $ и $ 1 $. Заштрихованные области: $ x \leq \frac{2}{7} $ или $ x \geq 1 $. Переменная: $ x $.

2) Числовая прямая с точками $ \frac{2}{7} $ и $ 1 $. Заштрихованная область: $ \frac{2}{7} \leq x \leq 1 $. Переменная: $ x $.

3) Числовая прямая с точками $ \frac{4}{7} $ и $ 2 $. Заштрихованные области: $ x \leq \frac{4}{7} $ или $ x \geq 2 $. Переменная: $ x $.

4) Числовая прямая с точками $ \frac{4}{7} $ и $ 2 $. Заштрихованная область: $ \frac{4}{7} \leq x \leq 2 $. Переменная: $ x $.

Чтобы указать геометрическую модель решения неравенства $7x^2 - 9x + 2 \le 0$, необходимо сначала решить это неравенство. Это квадратичное неравенство, которое решается методом интервалов.

1. Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 - 9x + 2 = 0$. Для этого вычислим дискриминант.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=7$, $b=-9$, $c=2$.

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9) - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 - 5}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

$x_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{9 + 5}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Корни уравнения: $\frac{2}{7}$ и $1$.

2. Определим знак выражения $7x^2 - 9x + 2$ на интервалах. Графиком функции $y = 7x^2 - 9x + 2$ является парабола. Так как старший коэффициент $a = 7$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = \frac{2}{7}$ и $x = 1$. Поскольку ветви направлены вверх, значения функции будут отрицательны ($y < 0$) на интервале между корнями и положительны ($y > 0$) вне этого интервала.

3. Найдём решение неравенства. Нас интересуют значения $x$, при которых $7x^2 - 9x + 2 \le 0$. Это означает, что мы ищем промежуток, где парабола находится ниже оси $x$ или на ней. Это соответствует отрезку между корнями, включая сами корни, так как неравенство нестрогое.

Следовательно, решение неравенства — это отрезок $[\frac{2}{7}; 1]$.

4. Сравним полученное решение с предложенными на рисунках геометрическими моделями.

Модель под номером 2 показывает числовую ось, на которой заштрихован промежуток между точками $\frac{2}{7}$ и $1$. Точки закрашены, что соответствует нестрогому неравенству. Эта модель полностью совпадает с найденным решением.

Ответ: 2