Номер 254, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

254 Решите неравенство $-x^2 + 11x - 30 < 0$.

1) $5 < x < 6$;

2) $x < 5$ и $x > 6$;

3) $-6 < x < 5$;

4) $x < -6$ и $x > 5$.

Для решения квадратного неравенства $-x^2 + 11x - 30 < 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-x^2 + 11x - 30 = 0$.

Чтобы упростить вычисления, умножим обе части уравнения на $-1$:

$x^2 - 11x + 30 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Для уравнения $x^2 - 11x + 30 = 0$ коэффициенты равны: $a=1$, $b=-11$, $c=30$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Теперь вернемся к исходному неравенству $-x^2 + 11x - 30 < 0$. Левая часть этого неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = -x^2 + 11x - 30$. График этой функции — парабола.

Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1$), ветви параболы направлены вниз. Парабола пересекает ось абсцисс (Ох) в точках, которые мы нашли: $x=5$ и $x=6$.

Нам необходимо найти, при каких значениях $x$ выполняется условие $y < 0$, то есть когда график параболы находится ниже оси Ох.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, она принимает отрицательные значения на интервалах слева от меньшего корня и справа от большего корня.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 5) \cup (6; \infty)$, что можно записать как $x < 5$ или $x > 6$.

В предложенных вариантах это соответствует записи $x < 5$ и $x > 6$ (вариант 2).

Ответ: $x < 5$ и $x > 6$