Номер 251, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

251 а) На рисунке 107 изображена парабола $y = x^2 + 8x + 7$. При каких значениях $x$ верно неравенство $x^2 + 8x + 7 > 0$?

б) на рисунке 108 изображена парабола $y = x^2 + 5x - 6$. При каких значениях $x$ верно неравенство $y = x^2 + 5x - 6 \le 0$?

Puc. 107

Puc. 108

а) Нам нужно найти значения $x$, при которых выполняется неравенство $x^2 + 8x + 7 > 0$. Это соответствует тем значениям $x$, для которых график функции $y = x^2 + 8x + 7$ (парабола, изображенная на рис. 107) находится выше оси абсцисс ($Ox$).

1. Графический метод:
На рисунке 107 мы видим параболу, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось $Ox$ в двух точках. По сетке можно определить координаты этих точек: $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$. Это нули функции. Неравенство $y > 0$ выполняется на тех участках, где график лежит выше оси $Ox$. Это происходит при значениях $x$ левее точки $x = -7$ и правее точки $x = -1$.

2. Аналитический метод:
Чтобы решить неравенство $x^2 + 8x + 7 > 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 6}{2}$.
$x_1 = \frac{-8 - 6}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-8 + 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх. Следовательно, квадратичная функция принимает положительные значения на промежутках вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства: $x < -7$ или $x > -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-1; +\infty)$.

б) Нам нужно найти значения $x$, при которых выполняется неравенство $x^2 + 5x - 6 \le 0$. Это соответствует тем значениям $x$, для которых график функции $y = x^2 + 5x - 6$ (парабола, изображенная на рис. 108) находится на оси абсцисс ($Ox$) или ниже нее.

1. Графический метод:
На рисунке 108 изображена парабола с ветвями вверх. Она пересекает ось $Ox$ в точках, абсциссы которых можно определить по сетке: $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$. Неравенство $y \le 0$ выполняется на том участке, где график лежит на оси $Ox$ или ниже нее. Это происходит на отрезке между точками $x = -6$ и $x = 1$, включая сами точки.

2. Аналитический метод:
Чтобы решить неравенство $x^2 + 5x - 6 \le 0$, сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 7}{2}$.
$x_1 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
$x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, квадратичная функция принимает неположительные (меньше или равно нулю) значения на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение неравенства: $-6 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-6; 1]$.