Номер 253, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

253 Решите неравенство $x^2 - 7x + 12 \le 0$.

1) $3 \le x \le 4;$

2) $x \le -4$ и $x \ge -3;$

3) $-4 \le x \le -3;$

4) $x \le 3$ и $x \ge 4.$

Для решения квадратного неравенства $x^2 - 7x + 12 \le 0$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти корни соответствующего квадратного уравнения

Приравняем левую часть неравенства к нулю, чтобы найти точки, в которых выражение равно нулю:

$x^2 - 7x + 12 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-7$, $c=12$.

Можно решить это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = 4$

Корни уравнения: $x=3$ и $x=4$.

2. Определить знак выражения на интервалах

Функция $y = x^2 - 7x + 12$ представляет собой параболу. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=3$ и $x=4$. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции будут отрицательными между корнями и положительными вне этого интервала.

Нас интересует, где $x^2 - 7x + 12 \le 0$, то есть где значения функции меньше или равны нулю. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни (поскольку неравенство нестрогое).

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[3; 4]$.

Это можно записать в виде двойного неравенства: $3 \le x \le 4$.

Ответ: $3 \le x \le 4$.