Номер 259, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

259 Решите неравенство $4x^2 \ge 9x$.

1) $x \le 0$ и $x \ge 2,25$;

2) $0 < x \le 2,25$;

3) $x \ge 2,25$;

4) $x \le -1,5$ и $x \ge 1,5$.

Для решения данного квадратичного неравенства $4x^2 \ge 9x$ перенесем все его члены в левую часть:

$4x^2 - 9x \ge 0$

Теперь разложим левую часть неравенства на множители. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x - 9) \ge 0$

Далее решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(4x - 9) = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два корня:

$x_1 = 0$

или

$4x - 9 = 0$

Решим второе уравнение:

$4x = 9$

$x_2 = \frac{9}{4} = 2,25$

Теперь отметим найденные корни ($0$ и $2,25$) на числовой оси. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки на оси будут закрашенными. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; 2,25]$ и $[2,25; +\infty)$.

Определим знаки выражения $x(4x - 9)$ на каждом интервале. Функция $y = 4x^2 - 9x$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($4 > 0$). Это означает, что парабола находится выше оси Ox (принимает положительные значения) вне интервала между корнями и ниже оси Ox (принимает отрицательные значения) между корнями.

Нам нужно найти, где $x(4x - 9) \ge 0$. Согласно свойствам параболы с ветвями вверх, это будет на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является совокупность двух условий:

$x \le 0$ и $x \ge 2,25$

В виде объединения промежутков это записывается как $x \in (-\infty; 0] \cup [2,25; +\infty)$.

Сравнивая полученное решение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту 1.

Ответ: 1