Номер 266, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

266 Укажите геометрическую модель решения неравенства

$(2x - 1)(4 - 12x)(x + 9) < 0.$

1) $\text{////////////////}\circ\text{----------------}\circ\text{////////////////}\circ\text{------------}\to x$

$\quad\quad\quad\quad\quad -9 \quad\quad\quad \frac{1}{3} \quad\quad\quad \frac{1}{2}$

2) $\text{----------------}\circ\text{////////////////}\circ\text{----------------}\circ\text{////////////////}\to x$

$\quad\quad\quad -\frac{1}{2} \quad\quad\quad -\frac{1}{3} \quad\quad\quad 9$

3) $\text{////////////////}\circ\text{----------------}\circ\text{----------------}\circ\text{////////////////}\to x$

$\quad\quad\quad\quad\quad -9 \quad\quad\quad 2 \quad\quad\quad 3$

4) $\text{----------------}\circ\text{////////////////}\circ\text{----------------}\circ\text{////////////////}\to x$

$\quad\quad\quad\quad\quad -9 \quad\quad\quad \frac{1}{3} \quad\quad 0,5$

Для решения неравенства $(2x - 1)(4 - 12x)(x + 9) < 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x - 1)(4 - 12x)(x + 9) = 0$.

Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем корни:

• $2x - 1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{2}$
• $4 - 12x = 0 \implies 12x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
• $x + 9 = 0 \implies x_3 = -9$

Далее, отметим эти корни на числовой оси в порядке возрастания: $-9$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$. Так как неравенство строгое (знак «<»), все точки на оси будут выколотыми. Эти точки делят ось на четыре интервала: $(-\infty, -9)$, $(-9, \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $f(x) = (2x - 1)(4 - 12x)(x + 9)$ в каждом из интервалов. Для этого возьмем по одной пробной точке из каждого промежутка и подставим в исходное выражение:

• При $x=1$ (из интервала $(\frac{1}{2}, +\infty)$): $(2 \cdot 1 - 1)(4 - 12 \cdot 1)(1 + 9) = 1 \cdot (-8) \cdot 10 = -80 < 0$. Знак на интервале «-».
• При $x=0.4$ (из интервала $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$): $(2 \cdot 0.4 - 1)(4 - 12 \cdot 0.4)(0.4 + 9) = (0.8 - 1)(4 - 4.8)(9.4) = (-0.2)(-0.8)(9.4) > 0$. Знак на интервале «+».
• При $x=0$ (из интервала $(-9, \frac{1}{3})$): $(2 \cdot 0 - 1)(4 - 12 \cdot 0)(0 + 9) = (-1) \cdot 4 \cdot 9 = -36 < 0$. Знак на интервале «-».
• При $x=-10$ (из интервала $(-\infty, -9)$): $(2 \cdot (-10) - 1)(4 - 12 \cdot (-10))(-10 + 9) = (-21)(124)(-1) > 0$. Знак на интервале «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть имеет знак «-». Это интервалы $(-9, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-9, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Сравнивая это решение с предложенными на рисунке моделями, видим, что оно соответствует модели под номером 4, где отмечены точки $-9$, $\frac{1}{3}$ и $0.5$ (что равно $\frac{1}{2}$) и заштрихованы интервалы $(-9, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

Ответ: 4