Номер 260, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

260 Решите неравенство $x^2 < 121$.

1) $x < 11$;

2) $-11 < x < 11$;

3) $-11 \le x \le 11$;

4) $x < -11$ и $x > 11$.

Для решения данного квадратного неравенства $x^2 < 121$ необходимо найти все значения $x$, при которых это неравенство является верным.

1. Преобразование неравенства

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить неравенство, сравниваемое с нулем: $x^2 - 121 < 0$

2. Разложение на множители

Левая часть неравенства является разностью квадратов, так как $121 = 11^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $(x - 11)(x + 11) < 0$

3. Метод интервалов

Чтобы решить полученное неравенство, используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 11)(x + 11) = 0$. Корнями являются $x_1 = 11$ и $x_2 = -11$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (знак «<»), точки $x = -11$ и $x = 11$ не включаются в решение (на прямой они обозначаются выколотыми точками).

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -11)$, $(-11; 11)$ и $(11; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x - 11)(x + 11)$ в каждом из интервалов:

• Для интервала $(-\infty; -11)$, возьмем тестовую точку, например $x = -12$. Подставляем: $(-12 - 11)(-12 + 11) = (-23)(-1) = 23$. Результат положительный ($ > 0 $).
• Для интервала $(-11; 11)$, возьмем тестовую точку, например $x = 0$. Подставляем: $(0 - 11)(0 + 11) = (-11)(11) = -121$. Результат отрицательный ($ < 0 $).
• Для интервала $(11; +\infty)$, возьмем тестовую точку, например $x = 12$. Подставляем: $(12 - 11)(12 + 11) = (1)(23) = 23$. Результат положительный ($ > 0 $).

4. Определение решения

Нас интересует интервал, на котором выражение $(x - 11)(x + 11)$ меньше нуля. Согласно проверке, это интервал $(-11; 11)$.

Это решение можно записать в виде двойного неравенства: $-11 < x < 11$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он полностью совпадает с вариантом под номером 2.

Ответ: 2) $-11 < x < 11$.