Страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

245 На координатной прямой отмечены числа $a, b, c$.

Какое из следующих неравенств является неверным?

1) $abc < 0;$

2) $a^2bc > 0;$

3) $ac > bc;$

4) $b - a > c.$

Для решения задачи проанализируем информацию, данную на координатной прямой. Мы видим, что точка a расположена левее нуля, а точки b и c — правее. Это означает, что:

• a — отрицательное число ($a < 0$)
• b — положительное число ($b > 0$)
• c — положительное число ($c > 0$)

Кроме того, из их взаимного расположения следует, что $a < 0 < b < c$.

Теперь поочередно проверим истинность каждого из предложенных неравенств.

1) $abc < 0;$

Произведение трех чисел: отрицательного a, положительного b и положительного c. Знак произведения будет определяться как $(-)\cdot(+)\cdot(+) = (-)$. Результат — отрицательное число. Любое отрицательное число меньше нуля. Таким образом, неравенство $abc < 0$ является верным.

2) $a^2bc > 0;$

Рассмотрим знаки множителей в этом выражении. $a^2$ — это квадрат отрицательного числа, который всегда является положительным числом ($a^2 > 0$). Числа b и c также положительны. Произведение трех положительных чисел: $(+)\cdot(+)\cdot(+) = (+)$. Результат — положительное число. Любое положительное число больше нуля. Таким образом, неравенство $a^2bc > 0$ является верным.

3) $ac > bc;$

Для проверки этого неравенства можно разделить обе его части на число c. Поскольку мы знаем, что $c > 0$, знак неравенства при делении не изменится:$ac > bc \quad | :c$$a > b$Однако, глядя на координатную прямую, мы видим, что точка a расположена левее точки b, что означает $a < b$. Полученное неравенство $a > b$ противоречит условию. Следовательно, исходное неравенство $ac > bc$ является неверным.

4) $b - a > c.$

Выражение $b - a$ представляет собой расстояние между точками b и a на координатной прямой. Неравенство утверждает, что это расстояние больше, чем значение c (которое равно расстоянию от 0 до c). Истинность этого утверждения зависит от конкретных значений чисел.Например, если $a = -10, b = 1, c = 2$, то условие $a < 0 < b < c$ выполняется. Проверяем неравенство: $1 - (-10) > 2$, то есть $11 > 2$. В этом случае неравенство верно.Но если взять $a = -1, b = 2, c = 4$, условие $a < 0 < b < c$ также выполняется. Проверяем неравенство: $2 - (-1) > 4$, то есть $3 > 4$. В этом случае неравенство неверно.Поскольку это неравенство не является неверным для всех возможных случаев, оно не может быть искомым ответом.

Таким образом, единственное неравенство, которое является неверным при любых значениях a, b и c, удовлетворяющих условию, — это неравенство под номером 3.

Ответ: 3

246 Найдите наименьшее целое решение неравенства:

а) $9x - 4 < 10x + 3;$

б) $12x + 7 \ge 9x - 11.$

а) $9x - 4 < 10x + 3$

Чтобы решить неравенство, перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в одну часть, а числовые слагаемые — в другую. Удобнее перенести $9x$ в правую часть, а $3$ в левую, чтобы коэффициент при $x$ остался положительным.

$-4 - 3 < 10x - 9x$

Упростим обе части неравенства:

$-7 < x$

Это неравенство можно записать как $x > -7$.

Решением являются все числа, которые строго больше $-7$. Нам нужно найти наименьшее целое решение. Первое целое число, которое больше $-7$, это $-6$.

Ответ: -6

б) $12x + 7 \ge 9x - 11$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства, а свободные члены — в правую.

$12x - 9x \ge -11 - 7$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$3x \ge -18$

Разделим обе части неравенства на $3$. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не меняется.

$x \ge -18 / 3$

$x \ge -6$

Решением являются все числа, которые больше или равны $-6$. Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, это само число $-6$.

Ответ: -6

247 Найдите множество решений неравенства $2.2x - 0.1 < 1.8x + 2.9$.

1) $(-\infty; 7.5]$

2) $(-\infty; 0.75)$

3) $(7.5; +\infty)$

4) $(-\infty; 7.5)$

Чтобы найти множество решений неравенства $2,2x - 0,1 < 1,8x + 2,9$, выполним следующие шаги:

1. Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть неравенства, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$2,2x - 1,8x < 2,9 + 0,1$

2. Упростим обе части неравенства, выполнив вычитание в левой части и сложение в правой:

$0,4x < 3$

3. Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на $0,4$. Поскольку $0,4$ — положительное число, знак неравенства при делении не изменится.

$x < \frac{3}{0,4}$

4. Вычислим результат деления. Для удобства можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$x < \frac{30}{4}$

$x < 7,5$

Таким образом, множество решений неравенства — это все числа, которые строго меньше $7,5$. На числовой прямой это соответствует открытому лучу от минус бесконечности до $7,5$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 7,5)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту под номером 4.

Ответ: 4) $(-\infty; 7,5)$.

248. Решите неравенство $\frac{4}{7}x + \frac{1}{6} \ge \frac{3}{14} + \frac{2}{3}x$.

1) $x \le -0,5$;

2) $x \le 2$;

3) $x \le 0,5$;

4) $x \le -2$.

Дано неравенство: $ \frac{4}{7}x + \frac{1}{6} \ge \frac{3}{14} + \frac{2}{3}x $.

Чтобы решить его, сначала избавимся от дробных коэффициентов. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 7, 6, 14 и 3.

НОК(3, 6, 7, 14) = 42.

Умножаем каждый член неравенства на 42. Поскольку 42 — положительное число, знак неравенства $ \ge $ сохраняется:

$ 42 \cdot \frac{4}{7}x + 42 \cdot \frac{1}{6} \ge 42 \cdot \frac{3}{14} + 42 \cdot \frac{2}{3}x $

Выполняем умножение и сокращаем дроби:

$ (6 \cdot 4)x + 7 \ge (3 \cdot 3) + (14 \cdot 2)x $

$ 24x + 7 \ge 9 + 28x $

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$ 24x - 28x \ge 9 - 7 $

Приводим подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$ -4x \ge 2 $

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -4. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный ( $ \ge $ на $ \le $ ):

$ x \le \frac{2}{-4} $

$ x \le -0.5 $

Ответ: $ x \le -0.5 $.

249 Решите неравенство $\frac{11 + 5x}{12} > \frac{8x - 2}{15}$.

1) $x < -9$;

2) $x > 9$;

3) $x < 9$;

4) $x > -9$.

Для решения данного неравенства $\frac{11 + 5x}{12} > \frac{8x - 2}{15}$ избавимся от дробей. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 12 и 15. Разложим знаменатели на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. Тогда НОК(12, 15) = $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Умножим обе части неравенства на 60. Так как 60 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$60 \cdot \frac{11 + 5x}{12} > 60 \cdot \frac{8x - 2}{15}$

Сократим дроби:

$5 \cdot (11 + 5x) > 4 \cdot (8x - 2)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях:

$5 \cdot 11 + 5 \cdot 5x > 4 \cdot 8x - 4 \cdot 2$

$55 + 25x > 32x - 8$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую его знак меняется на противоположный.

$25x - 32x > -8 - 55$

Приведем подобные слагаемые:

$-7x > -63$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -7. При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный (знак `>` меняется на `<`).

$x < \frac{-63}{-7}$

$x < 9$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 9)$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что наш результат совпадает с вариантом 3.

Ответ: $x < 9$.

250 Решите неравенство $ \frac{15 + 3x}{20} \le \frac{7x - 9}{32} $.

1) $x \le -15$;

2) $x \ge -15$;

3) $x \ge 15$;

4) $x \le 15$.

Решение:

Дано исходное неравенство:

$ \frac{15 + 3x}{20} \le \frac{7x - 9}{32} $

Чтобы упростить неравенство, избавимся от знаменателей. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) чисел 20 и 32.

Найдем НОК(20, 32):

Разложим числа на простые множители:

$ 20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 $

$ 32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2^5 $

НОК(20, 32) равно произведению всех простых множителей в их наивысших степенях: $ 2^5 \cdot 5 = 32 \cdot 5 = 160 $.

Умножим обе части неравенства на 160. Поскольку 160 > 0, знак неравенства не меняется:

$ 160 \cdot \frac{15 + 3x}{20} \le 160 \cdot \frac{7x - 9}{32} $

Сократим дроби:

$ \frac{160}{20} \cdot (15 + 3x) \le \frac{160}{32} \cdot (7x - 9) $

$ 8 \cdot (15 + 3x) \le 5 \cdot (7x - 9) $

Раскроем скобки:

$ 8 \cdot 15 + 8 \cdot 3x \le 5 \cdot 7x - 5 \cdot 9 $

$ 120 + 24x \le 35x - 45 $

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую часть, меняя их знаки на противоположные:

$ 120 + 45 \le 35x - 24x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 165 \le 11x $

Разделим обе части на 11. Так как 11 > 0, знак неравенства остается прежним:

$ \frac{165}{11} \le x $

$ 15 \le x $

Это неравенство эквивалентно записи $ x \ge 15 $. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту 3.

Ответ: $x \ge 15$.

251 а) На рисунке 107 изображена парабола $y = x^2 + 8x + 7$. При каких значениях $x$ верно неравенство $x^2 + 8x + 7 > 0$?

б) на рисунке 108 изображена парабола $y = x^2 + 5x - 6$. При каких значениях $x$ верно неравенство $y = x^2 + 5x - 6 \le 0$?

Puc. 107

Puc. 108

а) Нам нужно найти значения $x$, при которых выполняется неравенство $x^2 + 8x + 7 > 0$. Это соответствует тем значениям $x$, для которых график функции $y = x^2 + 8x + 7$ (парабола, изображенная на рис. 107) находится выше оси абсцисс ($Ox$).

1. Графический метод:
На рисунке 107 мы видим параболу, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось $Ox$ в двух точках. По сетке можно определить координаты этих точек: $x_1 = -7$ и $x_2 = -1$. Это нули функции. Неравенство $y > 0$ выполняется на тех участках, где график лежит выше оси $Ox$. Это происходит при значениях $x$ левее точки $x = -7$ и правее точки $x = -1$.

2. Аналитический метод:
Чтобы решить неравенство $x^2 + 8x + 7 > 0$, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 6}{2}$.
$x_1 = \frac{-8 - 6}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-8 + 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх. Следовательно, квадратичная функция принимает положительные значения на промежутках вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства: $x < -7$ или $x > -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-1; +\infty)$.

б) Нам нужно найти значения $x$, при которых выполняется неравенство $x^2 + 5x - 6 \le 0$. Это соответствует тем значениям $x$, для которых график функции $y = x^2 + 5x - 6$ (парабола, изображенная на рис. 108) находится на оси абсцисс ($Ox$) или ниже нее.

1. Графический метод:
На рисунке 108 изображена парабола с ветвями вверх. Она пересекает ось $Ox$ в точках, абсциссы которых можно определить по сетке: $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$. Неравенство $y \le 0$ выполняется на том участке, где график лежит на оси $Ox$ или ниже нее. Это происходит на отрезке между точками $x = -6$ и $x = 1$, включая сами точки.

2. Аналитический метод:
Чтобы решить неравенство $x^2 + 5x - 6 \le 0$, сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 7}{2}$.
$x_1 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
$x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, квадратичная функция принимает неположительные (меньше или равно нулю) значения на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение неравенства: $-6 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [-6; 1]$.

252 a) На рисунке 109 изображена парабола $y = -x^2 - 5x - 4$. При каких значениях $x$ верно неравенство $-x^2 - 5x - 4 \ge 0$?

б) на рисунке 110 изображена парабола $y = -x^2 - 8x - 12$. При каких значениях $x$ верно неравенство $-x^2 - 8x - 12 < 0$?

Рис. 109

Рис. 110

а)

Нам нужно решить неравенство $-x^2 - 5x - 4 \geq 0$, используя график функции $y = -x^2 - 5x - 4$, изображенный на рисунке 109. Решением неравенства являются те значения $x$, при которых график параболы находится на оси абсцисс или выше нее (то есть, где $y \geq 0$).

На графике видно, что ветви параболы направлены вниз, а сама парабола находится выше или на оси $Ox$ на промежутке между точками пересечения с этой осью. Найдем эти точки пересечения (корни), решив уравнение: $-x^2 - 5x - 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1: $x^2 + 5x + 4 = 0$

Используем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$ $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -4$ и $x = -1$. Это совпадает с графиком на рисунке 109. Поскольку ветви параболы направлены вниз, значения функции неотрицательны на отрезке между корнями.

Ответ: $x \in [-4; -1]$.

б)

Нам нужно решить неравенство $-x^2 - 8x - 12 < 0$, используя график функции $y = -x^2 - 8x - 12$, изображенный на рисунке 110. Решением неравенства являются те значения $x$, при которых график параболы находится строго ниже оси абсцисс (то есть, где $y < 0$).

На графике видно, что ветви параболы направлены вниз. Значения функции будут отрицательными на промежутках левее и правее точек пересечения с осью $Ox$. Найдем эти точки пересечения, решив уравнение: $-x^2 - 8x - 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1: $x^2 + 8x + 12 = 0$

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -8$ $x_1 \cdot x_2 = 12$ Отсюда корни уравнения: $x_1 = -6$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -6$ и $x = -2$, что совпадает с графиком на рисунке 110. Поскольку ветви параболы направлены вниз, значения функции отрицательны ($y < 0$) при $x < -6$ и при $x > -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-2; +\infty)$.

253 Решите неравенство $x^2 - 7x + 12 \le 0$.

1) $3 \le x \le 4;$

2) $x \le -4$ и $x \ge -3;$

3) $-4 \le x \le -3;$

4) $x \le 3$ и $x \ge 4.$

Для решения квадратного неравенства $x^2 - 7x + 12 \le 0$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти корни соответствующего квадратного уравнения

Приравняем левую часть неравенства к нулю, чтобы найти точки, в которых выражение равно нулю:

$x^2 - 7x + 12 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=1$, $b=-7$, $c=12$.

Можно решить это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = 4$

Корни уравнения: $x=3$ и $x=4$.

2. Определить знак выражения на интервалах

Функция $y = x^2 - 7x + 12$ представляет собой параболу. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=3$ и $x=4$. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции будут отрицательными между корнями и положительными вне этого интервала.

Нас интересует, где $x^2 - 7x + 12 \le 0$, то есть где значения функции меньше или равны нулю. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни (поскольку неравенство нестрогое).

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[3; 4]$.

Это можно записать в виде двойного неравенства: $3 \le x \le 4$.

Ответ: $3 \le x \le 4$.

254 Решите неравенство $-x^2 + 11x - 30 < 0$.

1) $5 < x < 6$;

2) $x < 5$ и $x > 6$;

3) $-6 < x < 5$;

4) $x < -6$ и $x > 5$.

Для решения квадратного неравенства $-x^2 + 11x - 30 < 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-x^2 + 11x - 30 = 0$.

Чтобы упростить вычисления, умножим обе части уравнения на $-1$:

$x^2 - 11x + 30 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Для уравнения $x^2 - 11x + 30 = 0$ коэффициенты равны: $a=1$, $b=-11$, $c=30$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Теперь вернемся к исходному неравенству $-x^2 + 11x - 30 < 0$. Левая часть этого неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = -x^2 + 11x - 30$. График этой функции — парабола.

Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1$), ветви параболы направлены вниз. Парабола пересекает ось абсцисс (Ох) в точках, которые мы нашли: $x=5$ и $x=6$.

Нам необходимо найти, при каких значениях $x$ выполняется условие $y < 0$, то есть когда график параболы находится ниже оси Ох.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, она принимает отрицательные значения на интервалах слева от меньшего корня и справа от большего корня.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 5) \cup (6; \infty)$, что можно записать как $x < 5$ или $x > 6$.

В предложенных вариантах это соответствует записи $x < 5$ и $x > 6$ (вариант 2).

Ответ: $x < 5$ и $x > 6$