Номер 275, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

275 а) При каких значениях переменной выражение $\sqrt{56x + 7}$ имеет смысл?

б) При каких значениях переменной выражение $\frac{1}{\sqrt{5x - 2}}$ имеет смысл?

а) Выражение $\sqrt{56x} + 7$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю. Это связано с тем, что в области действительных чисел квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел. Слагаемое $7$ не влияет на область допустимых значений переменной $x$.

Составим и решим неравенство:

$56x \geq 0$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на $56$. Так как $56$ — положительное число, знак неравенства не изменится:

$x \geq \frac{0}{56}$

$x \geq 0$

Таким образом, выражение имеет смысл при всех неотрицательных значениях $x$.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

б) Чтобы выражение $\frac{1}{\sqrt{5x} - 2}$ имело смысл, должны одновременно выполняться два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$5x \geq 0$

Разделив обе части на $5$, получаем:

$x \geq 0$

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как деление на ноль не определено:

$\sqrt{5x} - 2 \neq 0$

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, решив соответствующее уравнение:

$\sqrt{5x} - 2 = 0$

$\sqrt{5x} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{5x})^2 = 2^2$

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5}$

Значит, значение $x = \frac{4}{5}$ нужно исключить из области допустимых значений.

Объединяем оба условия: $x$ должен быть больше или равен нулю, но при этом не равен $\frac{4}{5}$.

Ответ: $x \in [0; \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}; +\infty)$.