Номер 242, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

242 На координатной прямой изображено число $a$.

Какие из указанных неравенств являются верными?

1) $a^2 > 1$;

2) $-1 < \frac{1}{a} < 0$;

3) $-\frac{1}{a} > 1$;

4) $-a > 1$.

Проанализируем информацию, представленную на координатной прямой.

Число $a$ расположено слева от нуля, следовательно, $a$ — отрицательное число: $a < 0$.

На прямой отмечены точки $a$, 0 и 1. Расстояние от точки $a$ до нуля равно $|a|$. Расстояние от точки 1 до нуля равно 1. Из рисунка видно, что расстояние от $a$ до 0 больше, чем расстояние от 1 до 0.

Следовательно, мы можем записать неравенство: $|a| > 1$.

Поскольку $a$ — отрицательное число, его модуль определяется как $|a| = -a$. Подставляя это в неравенство выше, получаем: $-a > 1$. Если умножить обе части этого неравенства на -1, необходимо изменить знак неравенства на противоположный: $a < -1$.

Теперь, основываясь на том, что $a < -1$, проверим каждое из предложенных неравенств. Для удобства можно использовать конкретное значение, удовлетворяющее этому условию, например, $a = -2$.

1) $a^2 > 1$

Подставим контрольное значение $a = -2$: $(-2)^2 > 1$, что дает $4 > 1$. Это верное утверждение.
Докажем в общем виде. Мы установили, что $|a| > 1$. Так как обе части этого неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $|a|^2 > 1^2$. Поскольку $|a|^2 = a^2$ для любого действительного числа $a$, мы получаем $a^2 > 1$.
Таким образом, неравенство 1 является верным.

2) $-1 < \frac{1}{a} < 0$

Подставим $a = -2$: $-1 < \frac{1}{-2} < 0$, что дает $-1 < -0.5 < 0$. Это верное двойное неравенство.
Докажем в общем виде.
Поскольку $a < 0$, его обратное значение $\frac{1}{a}$ также будет отрицательным, отсюда следует правая часть неравенства: $\frac{1}{a} < 0$.
Теперь докажем левую часть. Мы исходим из того, что $a < -1$. Поскольку обе части неравенства отрицательны, при взятии обратной величины от каждой части знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{1}{a} > \frac{1}{-1}$, что равносильно $\frac{1}{a} > -1$.
Объединив два результата, получаем: $-1 < \frac{1}{a} < 0$.
Таким образом, неравенство 2 является верным.

3) $-\frac{1}{a} > 1$

Подставим $a = -2$: $-\frac{1}{-2} > 1$, что дает $0.5 > 1$. Это неверное утверждение.
Докажем в общем виде. В предыдущем пункте мы показали, что $\frac{1}{a} > -1$. Умножим обе части этого неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $(-\frac{1}{a}) < (-1) \cdot (-1)$, что дает $-\frac{1}{a} < 1$.
Это противоречит исходному неравенству.
Таким образом, неравенство 3 является неверным.

4) $-a > 1$

Подставим $a = -2$: $-(-2) > 1$, что дает $2 > 1$. Это верное утверждение.
Как было показано в начальном анализе, это неравенство является прямой математической записью того факта, что расстояние от $a$ до 0 (которое равно $-a$, так как $a < 0$) больше 1.
Таким образом, неравенство 4 является верным.

Итак, верными являются неравенства под номерами 1, 2 и 4.

Ответ: 1, 2, 4.