Номер 233, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

233 a) Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} \frac{8}{x-y} - \frac{1}{x+y} = 5, \\ \frac{15}{x-y} - \frac{6}{x+y} = -3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{9}{2x+y} - \frac{4}{x-y} = 2, \\ \frac{3}{2x+y} + \frac{5}{x-y} = 26. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{8}{x - y} - \frac{1}{x + y} = 5 \\ \frac{15}{x - y} - \frac{6}{x + y} = -3 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно ввести новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x - y}$ и $v = \frac{1}{x + y}$. При этом необходимо учесть, что $x - y \ne 0$ и $x + y \ne 0$.

После замены система примет вид:

$$ \begin{cases} 8u - v = 5 \\ 15u - 6v = -3 \end{cases} $$

Это система двух линейных уравнений с двумя переменными. Решим ее методом сложения. Умножим первое уравнение на 6, чтобы коэффициенты при переменной $v$ стали равными по модулю:

$$ 6 \cdot (8u - v) = 6 \cdot 5 $$

$$ 48u - 6v = 30 $$

Теперь вычтем второе уравнение ($15u - 6v = -3$) из полученного нового уравнения ($48u - 6v = 30$):

$$ (48u - 6v) - (15u - 6v) = 30 - (-3) $$

$$ 48u - 15u = 33 $$

$$ 33u = 33 $$

$$ u = 1 $$

Подставим найденное значение $u = 1$ в первое уравнение ($8u - v = 5$):

$$ 8(1) - v = 5 $$

$$ 8 - v = 5 $$

$$ v = 3 $$

Теперь, когда мы нашли значения $u$ и $v$, выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$$ u = \frac{1}{x - y} = 1 \implies x - y = 1 $$

$$ v = \frac{1}{x + y} = 3 \implies x + y = \frac{1}{3} $$

Мы получили новую, более простую систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = \frac{1}{3} \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$$ (x - y) + (x + y) = 1 + \frac{1}{3} $$

$$ 2x = \frac{4}{3} $$

$$ x = \frac{2}{3} $$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = \frac{1}{3}$:

$$ \frac{2}{3} + y = \frac{1}{3} $$

$$ y = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} $$

Проверка ОДЗ: $x-y = \frac{2}{3} - (-\frac{1}{3}) = 1 \ne 0$; $x+y = \frac{2}{3} + (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \ne 0$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; -\frac{1}{3})$

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{9}{2x + y} - \frac{4}{x - y} = 2 \\ \frac{3}{2x + y} + \frac{5}{x - y} = 26 \end{cases} $$

Как и в предыдущем случае, введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{2x + y}$ и $b = \frac{1}{x - y}$. ОДЗ: $2x + y \ne 0$ и $x - y \ne 0$.

Система преобразуется к виду:

$$ \begin{cases} 9a - 4b = 2 \\ 3a + 5b = 26 \end{cases} $$

Решим эту систему. Умножим второе уравнение на 3, чтобы уравнять коэффициенты при $a$:

$$ 3 \cdot (3a + 5b) = 3 \cdot 26 $$

$$ 9a + 15b = 78 $$

Теперь вычтем первое уравнение ($9a - 4b = 2$) из полученного нового:

$$ (9a + 15b) - (9a - 4b) = 78 - 2 $$

$$ 15b + 4b = 76 $$

$$ 19b = 76 $$

$$ b = 4 $$

Подставим значение $b = 4$ в уравнение $3a + 5b = 26$:

$$ 3a + 5(4) = 26 $$

$$ 3a + 20 = 26 $$

$$ 3a = 6 $$

$$ a = 2 $$

Выполним обратную замену:

$$ a = \frac{1}{2x + y} = 2 \implies 2x + y = \frac{1}{2} $$

$$ b = \frac{1}{x - y} = 4 \implies x - y = \frac{1}{4} $$

Получили систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} 2x + y = \frac{1}{2} \\ x - y = \frac{1}{4} \end{cases} $$

Сложим уравнения системы:

$$ (2x + y) + (x - y) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} $$

$$ 3x = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $$

$$ x = \frac{1}{4} $$

Подставим найденное значение $x$ в уравнение $x - y = \frac{1}{4}$:

$$ \frac{1}{4} - y = \frac{1}{4} $$

$$ -y = 0 $$

$$ y = 0 $$

Проверка ОДЗ: $2x+y = 2(\frac{1}{4}) + 0 = \frac{1}{2} \ne 0$; $x-y = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4} \ne 0$.

Ответ: $(\frac{1}{4}; 0)$