Номер 227, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

227 а) Найдите значение выражения $\frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2}$, где пары чисел $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений $\begin{cases} xy = -80 \\ x - y = -21 \end{cases}$;

б) найдите значение выражения $\frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2}$, где пары чисел $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений $\begin{cases} xy = 60 \\ x - y = -11 \end{cases}$.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy = -80 \\ x - y = -21 \end{cases} $$ Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями этой системы. Необходимо найти значение выражения $\frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2}$.

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $x = y - 21$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы: $(y - 21)y = -80$ $y^2 - 21y + 80 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Его корнями являются $y_1$ и $y_2$. По теореме Виета, сумма и произведение корней равны: $y_1 + y_2 = 21$ $y_1 y_2 = 80$

Теперь преобразуем искомое выражение, приведя дроби к общему знаменателю: $$ \frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2} = \frac{x_1 y_2 + x_2 y_1}{y_1 y_2} $$

Поскольку $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями, то для них выполняются соотношения $x_1 = y_1 - 21$ и $x_2 = y_2 - 21$. Подставим их в числитель полученной дроби: $x_1 y_2 + x_2 y_1 = (y_1 - 21)y_2 + (y_2 - 21)y_1 = y_1 y_2 - 21y_2 + y_2 y_1 - 21y_1$ $= 2y_1 y_2 - 21(y_1 + y_2)$

Теперь подставим значения суммы и произведения корней, найденные по теореме Виета: Числитель: $2 \cdot (80) - 21 \cdot (21) = 160 - 441 = -281$. Знаменатель: $y_1 y_2 = 80$.

Таким образом, значение выражения равно: $$ \frac{-281}{80} = -\frac{281}{80} $$

Ответ: $-\frac{281}{80}$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} xy = 60 \\ x - y = -11 \end{cases} $$ Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями этой системы. Необходимо найти значение выражения $\frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2}$.

Действуем аналогично пункту а). Из второго уравнения выразим $x$: $x = y - 11$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $(y - 11)y = 60$ $y^2 - 11y - 60 = 0$

Корнями этого квадратного уравнения являются $y_1$ и $y_2$. По теореме Виета найдем их сумму и произведение: $y_1 + y_2 = 11$ $y_1 y_2 = -60$

Преобразуем искомое выражение: $$ \frac{x_1}{y_1} + \frac{x_2}{y_2} = \frac{x_1 y_2 + x_2 y_1}{y_1 y_2} $$

Соотношения для решений: $x_1 = y_1 - 11$ и $x_2 = y_2 - 11$. Подставляем их в числитель: $x_1 y_2 + x_2 y_1 = (y_1 - 11)y_2 + (y_2 - 11)y_1 = y_1 y_2 - 11y_2 + y_2 y_1 - 11y_1$ $= 2y_1 y_2 - 11(y_1 + y_2)$

Подставляем значения, найденные по теореме Виета: Числитель: $2(-60) - 11(11) = -120 - 121 = -241$. Знаменатель: $y_1 y_2 = -60$.

Таким образом, значение выражения равно: $$ \frac{-241}{-60} = \frac{241}{60} $$

Ответ: $\frac{241}{60}$.