Номер 220, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

220 Найдите модуль разности корней уравнения:

a) $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0$;

б) $4x^4 - 35x^2 - 9 = 0$.

a) Решим биквадратное уравнение $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0$.

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $y$:

$4y^2 + 3y - 1 = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

Теперь найдем корни для $y$ по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 - 5}{8} = \frac{-8}{8} = -1$.

$y_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Так как мы ввели ограничение $y \ge 0$, корень $y_1 = -1$ является посторонним и не подходит для дальнейшего решения.

Выполним обратную замену для подходящего корня $y_2 = \frac{1}{4}$:

$x^2 = \frac{1}{4}$.

Из этого уравнения находим два действительных корня исходного уравнения:

$x_1 = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

$x_2 = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}$

Нам необходимо найти модуль разности этих корней:

$|x_1 - x_2| = |\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})| = |\frac{1}{2} + \frac{1}{2}| = |1| = 1$.

Ответ: 1.

б) Решим биквадратное уравнение $4x^4 - 35x^2 - 9 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$, при этом $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$4y^2 - 35y - 9 = 0$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (-35)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 1225 + 144 = 1369$.

Найдем корни для $y$. Заметим, что $\sqrt{1369} = 37$.

$y_1 = \frac{-(-35) - 37}{2 \cdot 4} = \frac{35 - 37}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.

$y_2 = \frac{-(-35) + 37}{2 \cdot 4} = \frac{35 + 37}{8} = \frac{72}{8} = 9$.

Корень $y_1 = -\frac{1}{4}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для корня $y_2 = 9$:

$x^2 = 9$.

Находим корни исходного уравнения:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Теперь найдем модуль разности этих корней:

$|x_1 - x_2| = |3 - (-3)| = |3 + 3| = |6| = 6$.

Ответ: 6.