Номер 218, страница 184, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

218 Решите уравнение:

a) $x - 5\sqrt{x} - 6 = 0$;

б) $x - 6\sqrt{x} - 7 = 0$.

а) $x - 5\sqrt{x} - 6 = 0$

Данное уравнение можно решить методом введения новой переменной. Область допустимых значений для $x$ определяется подкоренным выражением: $x \ge 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Тогда $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t^2 - 5t - 6 = 0$

Получилось квадратное уравнение относительно $t$. Решим его. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь необходимо проверить корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 6$ удовлетворяет условию ($6 \ge 0$).

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), следовательно, является посторонним корнем.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $t = 6$:

$\sqrt{x} = 6$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = 6^2 = 36$

Проверка: подставим $x = 36$ в исходное уравнение:

$36 - 5\sqrt{36} - 6 = 36 - 5 \cdot 6 - 6 = 36 - 30 - 6 = 0$.

$0 = 0$. Решение верно.

Ответ: 36

б) $x - 6\sqrt{x} - 7 = 0$

Решим это уравнение аналогичным способом. ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену: $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим в уравнение:

$t^2 - 6t - 7 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$t_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 7$ удовлетворяет условию ($7 \ge 0$).

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t = 7$:

$\sqrt{x} = 7$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 7^2 = 49$

Проверка: подставим $x = 49$ в исходное уравнение:

$49 - 6\sqrt{49} - 7 = 49 - 6 \cdot 7 - 7 = 49 - 42 - 7 = 0$.

$0 = 0$. Решение верно.

Ответ: 49