Номер 212, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

212 Решите уравнение:

а) $ \frac{y^2 - 25}{6y - 30} = 0; $

б) $ \frac{y^2 - 16}{-3y - 12} = 0. $

а)

Дано уравнение: $\frac{y^2 - 25}{6y - 30} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$ \begin{cases} y^2 - 25 = 0 \\ 6y - 30 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:
$y^2 - 25 = 0$
Это разность квадратов, которую можно разложить на множители:
$(y - 5)(y + 5) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:
$y_1 = 5$
$y_2 = -5$

Теперь решим неравенство из системы (найдем область допустимых значений - ОДЗ):
$6y - 30 \neq 0$
$6y \neq 30$
$y \neq \frac{30}{6}$
$y \neq 5$

Сравниваем корни, полученные из числителя, с ОДЗ. Корень $y = 5$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, этот корень является посторонним.

Единственным решением уравнения является $y = -5$.

Ответ: $-5$

б)

Дано уравнение: $\frac{y^2 - 16}{-3y - 12} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} y^2 - 16 = 0 \\ -3y - 12 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:
$y^2 - 16 = 0$
Используем формулу разности квадратов:
$(y - 4)(y + 4) = 0$
Возможные корни:
$y_1 = 4$
$y_2 = -4$

Теперь решим неравенство из системы (найдем ОДЗ):
$-3y - 12 \neq 0$
$-3y \neq 12$
$y \neq \frac{12}{-3}$
$y \neq -4$

Сравниваем полученные корни с ОДЗ. Корень $y = -4$ не удовлетворяет условию, так как при этом значении знаменатель равен нулю. Этот корень является посторонним.

Таким образом, единственное решение уравнения — это $y = 4$.

Ответ: $4$