Номер 206, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

206 Найдите наибольший корень уравнения.

a) $12x^2 - 17x - 14 = 0;$

б) $-30x^2 + 67x - 35 = 0.$

а) $12x^2 - 17x - 14 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=12$, $b=-17$, $c=-14$.

Для нахождения корней вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-14) = 289 + 672 = 961$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

Вычисляем корни:

$x_1 = \frac{-(-17) + 31}{2 \cdot 12} = \frac{17 + 31}{24} = \frac{48}{24} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-17) - 31}{2 \cdot 12} = \frac{17 - 31}{24} = \frac{-14}{24} = -\frac{7}{12}$.

Сравниваем полученные корни: $2$ и $-\frac{7}{12}$. Очевидно, что $2 > -\frac{7}{12}$.

Следовательно, наибольший корень уравнения равен 2.

Ответ: 2.

б) $-30x^2 + 67x - 35 = 0$

Для удобства вычислений умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$30x^2 - 67x + 35 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=30$, $b=-67$, $c=35$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-67)^2 - 4 \cdot 30 \cdot 35 = 4489 - 4200 = 289$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Вычисляем корни:

$x_1 = \frac{-(-67) + 17}{2 \cdot 30} = \frac{67 + 17}{60} = \frac{84}{60} = \frac{21}{15} = \frac{7}{5}$.

$x_2 = \frac{-(-67) - 17}{2 \cdot 30} = \frac{67 - 17}{60} = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}$.

Сравним полученные корни: $\frac{7}{5}$ и $\frac{5}{6}$. Для этого приведем их к общему знаменателю 30:

$\frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{42}{30}$

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}$

Так как $\frac{42}{30} > \frac{25}{30}$, то $\frac{7}{5} > \frac{5}{6}$.

Следовательно, наибольший корень уравнения равен $\frac{7}{5}$.

Ответ: $\frac{7}{5}$.