Номер 207, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

207 Найдите наименьший корень уравнения.

а) $20x^2 + 31x + 12 = 0;$

б) $-24x^2 + 38x - 15 = 0.$

а) $20x^2 + 31x + 12 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=20$, $b=31$, $c=12$.

Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

1. Вычислим дискриминант:

$D = 31^2 - 4 \cdot 20 \cdot 12 = 961 - 960 = 1$

2. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$

$x_1 = \frac{-31 + 1}{2 \cdot 20} = \frac{-30}{40} = -\frac{3}{4} = -0,75$

$x_2 = \frac{-31 - 1}{2 \cdot 20} = \frac{-32}{40} = -\frac{4}{5} = -0,8$

3. Сравним полученные корни, чтобы найти наименьший:

$-0,8 < -0,75$

Следовательно, наименьший корень уравнения равен $-0,8$.

Ответ: $-0,8$.

б) $-24x^2 + 38x - 15 = 0$

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. Знаки всех членов уравнения изменятся на противоположные:

$24x^2 - 38x + 15 = 0$

Теперь это квадратное уравнение с коэффициентами $a=24$, $b=-38$, $c=15$.

1. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-38)^2 - 4 \cdot 24 \cdot 15 = 1444 - 1440 = 4$

2. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их:

$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$

$x_1 = \frac{-(-38) + 2}{2 \cdot 24} = \frac{38 + 2}{48} = \frac{40}{48} = \frac{5 \cdot 8}{6 \cdot 8} = \frac{5}{6}$

$x_2 = \frac{-(-38) - 2}{2 \cdot 24} = \frac{38 - 2}{48} = \frac{36}{48} = \frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 12} = \frac{3}{4}$

3. Сравним полученные корни, чтобы найти наименьший. Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$

Так как $\frac{9}{12} < \frac{10}{12}$, то $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$.

Следовательно, наименьший корень уравнения равен $\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.