Номер 213, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

213 Решите уравнение:

а) $\frac{x^2 - 7x + 12}{2x - 8} = 0;$

б) $\frac{x^2 + 6x + 8}{5x + 10} = 0.$

а) $\frac{x^2 - 7x + 12}{2x - 8} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 7x + 12 = 0 \\ 2x - 8 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим квадратное уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

Таким образом, потенциальные решения - это $x=3$ и $x=4$.

2. Проверим условие $2x - 8 \neq 0$.

$2x \neq 8$

$x \neq 4$

3. Сопоставим корни, полученные в первом шаге, с ограничением из второго шага.

Корень $x = 3$ удовлетворяет условию $x \neq 4$.

Корень $x = 4$ не удовлетворяет условию $x \neq 4$, поэтому он является посторонним.

Следовательно, единственным решением уравнения является $x=3$.

Ответ: 3

б) $\frac{x^2 + 6x + 8}{5x + 10} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x^2 + 6x + 8 = 0 \\ 5x + 10 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим квадратное уравнение $x^2 + 6x + 8 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $8$.

$x_1 + x_2 = -6$

$x_1 \cdot x_2 = 8$

Подбором находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.

$x_1 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

$x_2 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Потенциальные решения: $x=-4$ и $x=-2$.

2. Проверим условие $5x + 10 \neq 0$.

$5x \neq -10$

$x \neq -2$

3. Сравним найденные корни с ограничением.

Корень $x = -4$ удовлетворяет условию $x \neq -2$.

Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию $x \neq -2$, значит, это посторонний корень.

Таким образом, единственное решение уравнения - это $x=-4$.

Ответ: -4