Номер 211, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

211 Решите уравнение:

а) $\frac{5}{x^2} + \frac{3}{x} = 2;$

б) $\frac{6}{x^2} - \frac{1}{x} = 5.$

а) $\frac{5}{x^2} + \frac{3}{x} = 2$

Данное уравнение является рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной x определяется условием, что знаменатели дробей не должны быть равны нулю: $x^2 \neq 0$ и $x \neq 0$, что в совокупности дает $x \neq 0$.

Чтобы решить уравнение, избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель, который равен $x^2$. Так как мы уже установили, что $x \neq 0$, это преобразование является равносильным.

$x^2 \cdot \left(\frac{5}{x^2} + \frac{3}{x}\right) = 2 \cdot x^2$

$5 + 3x = 2x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 3x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Оба найденных корня ($2,5$ и $-1$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$), следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-1; 2,5$.

б) $\frac{6}{x^2} - \frac{1}{x} = 5$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения также $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x^2$:

$x^2 \cdot \left(\frac{6}{x^2} - \frac{1}{x}\right) = 5 \cdot x^2$

$6 - x = 5x^2$

Запишем уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 + x - 6 = 0$

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 + 11}{10} = \frac{10}{10} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 - 11}{10} = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5} = -1,2$

Оба корня ($1$ и $-1,2$) не равны нулю, значит, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-1,2; 1$.