Номер 204, страница 182, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

204 Укажите уравнение, которое имеет два отрицательных корня.

1) $3x^2 + 10x + 6 = 0;$

2) $3x^2 - 10x + 6 = 0;$

3) $3x^2 + 10x + 9 = 0;$

4) $3x^2 - 10x - 6 = 0.$

Чтобы определить, какое из квадратных уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два отрицательных корня, воспользуемся следствиями из теоремы Виета. Для того чтобы оба корня ($x_1$ и $x_2$) были отрицательными, должны одновременно выполняться три условия:

1. Уравнение должно иметь два действительных корня, что означает, что его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть положительным ($D > 0$).
2. Произведение корней должно быть положительным: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} > 0$. Это означает, что корни имеют одинаковые знаки.
3. Сумма корней должна быть отрицательной: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} < 0$. Если корни одного знака, то это условие гарантирует, что они оба отрицательные.

Проанализируем каждое из предложенных уравнений.

1) $3x^2 + 10x + 6 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=3$, $b=10$, $c=6$.

• Проверим дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 100 - 72 = 28$. Так как $D > 0$, у уравнения есть два различных действительных корня.
• Проверим произведение корней: $\frac{c}{a} = \frac{6}{3} = 2$. Так как $\frac{c}{a} > 0$, корни имеют одинаковый знак.
• Проверим сумму корней: $-\frac{b}{a} = -\frac{10}{3}$. Так как $-\frac{b}{a} < 0$, сумма корней отрицательна.

Все три условия выполнены. Следовательно, это уравнение имеет два отрицательных корня.

Ответ: уравнение $3x^2 + 10x + 6 = 0$ является искомым, так как оно имеет два отрицательных корня.

2) $3x^2 - 10x + 6 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=3$, $b=-10$, $c=6$.

Проверим сумму корней: $-\frac{b}{a} = -(\frac{-10}{3}) = \frac{10}{3}$. Сумма корней положительна. Так как произведение корней $\frac{c}{a} = \frac{6}{3} = 2$ также положительно, то оба корня являются положительными.

Ответ: данное уравнение имеет два положительных корня.

3) $3x^2 + 10x + 9 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=3$, $b=10$, $c=9$.

Проверим дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 100 - 108 = -8$. Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: данное уравнение не имеет действительных корней.

4) $3x^2 - 10x - 6 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=3$, $b=-10$, $c=-6$.

Проверим произведение корней: $\frac{c}{a} = \frac{-6}{3} = -2$. Так как произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки (один корень положительный, а другой отрицательный).

Ответ: данное уравнение имеет корни разных знаков.