Номер 214, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

214 Решите уравнение:

а) $\frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4} = 0;$

б) $\frac{x^2 + 5x + 4}{x^2 - 1} = 0.$

а)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4} = 0 $.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + x - 6 = 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим первое уравнение $ x^2 + x - 6 = 0 $.

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант.

Используем дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $.

Корни уравнения:$ x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3 $.

$ x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 $.

2. Теперь проверим второе условие (область допустимых значений, ОДЗ): $ x^2 - 4 \neq 0 $.

Используя формулу разности квадратов, получаем: $ (x - 2)(x + 2) \neq 0 $.

Отсюда следует, что $ x \neq 2 $ и $ x \neq -2 $.

3. Соотнесем корни, полученные в шаге 1, с ОДЗ.

Корень $ x_1 = -3 $ удовлетворяет условию $ x \neq \pm 2 $, следовательно, является решением исходного уравнения.

Корень $ x_2 = 2 $ не удовлетворяет условию $ x \neq 2 $. При $ x=2 $ знаменатель обращается в ноль, поэтому это посторонний корень.

Ответ: $ -3 $.

б)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 5x + 4}{x^2 - 1} = 0 $.

Уравнение равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$ \begin{cases} x^2 + 5x + 4 = 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases} $

1. Решим квадратное уравнение из числителя: $ x^2 + 5x + 4 = 0 $.

Найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $.

Корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 - 3}{2} = -4 $.

$ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 + 3}{2} = -1 $.

2. Проверим ОДЗ, исходя из условия $ x^2 - 1 \neq 0 $.

Разложим знаменатель на множители: $ (x - 1)(x + 1) \neq 0 $.

Следовательно, $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.

3. Сопоставим найденные корни с ОДЗ.

Корень $ x_1 = -4 $ удовлетворяет условиям $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $, значит, это корень исходного уравнения.

Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет условию $ x \neq -1 $, так как при этом значении знаменатель равен нулю. Это посторонний корень.

Ответ: $ -4 $.