Номер 225, страница 185, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

225. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{x + 2y}{5} + \frac{3x - y}{3} = 5, \\ 2x - 3y = -1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{4x + 1}{3} - \frac{5x - 3y}{4} = 3, \\ 7x - 10y = 5. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}\frac{x + 2y}{5} + \frac{3x - y}{3} = 5, \\2x - 3y = -1.\end{cases}$
Сначала упростим первое уравнение системы. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 15 и умножим обе части уравнения на него:
$15 \cdot \frac{x + 2y}{5} + 15 \cdot \frac{3x - y}{3} = 15 \cdot 5$
$3(x + 2y) + 5(3x - y) = 75$
Раскроем скобки:
$3x + 6y + 15x - 5y = 75$
Приведем подобные слагаемые:
$(3x + 15x) + (6y - 5y) = 75$
$18x + y = 75$
Теперь система уравнений имеет более простой вид:
$\begin{cases}18x + y = 75, \\2x - 3y = -1.\end{cases}$
Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $y$ из первого уравнения:
$y = 75 - 18x$
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$2x - 3(75 - 18x) = -1$
$2x - 225 + 54x = -1$
$56x = 224$
$x = \frac{224}{56}$
$x = 4$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 4$ в выражение для $y$:
$y = 75 - 18 \cdot 4 = 75 - 72 = 3$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(4; 3)$.
Ответ: $(4; 3)$.

б) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}\frac{4x + 1}{3} - \frac{5x - 3y}{4} = 3, \\7x - 10y = 5.\end{cases}$
Упростим первое уравнение, избавившись от знаменателей. Общий знаменатель для 3 и 4 равен 12. Умножим обе части уравнения на 12:
$12 \cdot \frac{4x + 1}{3} - 12 \cdot \frac{5x - 3y}{4} = 12 \cdot 3$
$4(4x + 1) - 3(5x - 3y) = 36$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:
$16x + 4 - 15x + 9y = 36$
Приведем подобные слагаемые:
$(16x - 15x) + 9y = 36 - 4$
$x + 9y = 32$
Получаем эквивалентную систему уравнений:
$\begin{cases}x + 9y = 32, \\7x - 10y = 5.\end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 32 - 9y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$7(32 - 9y) - 10y = 5$
$224 - 63y - 10y = 5$
$224 - 73y = 5$
$-73y = 5 - 224$
$-73y = -219$
$y = \frac{-219}{-73}$
$y = 3$
Найдем значение $x$, подставив $y = 3$ в выражение для $x$:
$x = 32 - 9 \cdot 3 = 32 - 27 = 5$
Следовательно, решение данной системы — пара чисел $(5; 3)$.
Ответ: $(5; 3)$.