Номер 234, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

234 Найдите целое значение $a$, при котором $ax + 5y = 0$, если пара чисел $(x; y)$ является решением системы уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 41, \\ x + 2y = 3. \end{cases}$

Для того чтобы найти значение параметра $a$, сначала необходимо найти пару чисел $(x; y)$, которая является решением системы уравнений. После этого мы подставим найденные значения $x$ и $y$ в уравнение $ax + 5y = 0$ и найдем $a$.

1. Решим систему уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 41, \\x + 2y = 3.\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 3 - 2y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(3 - 2y)^2 + y^2 = 41$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$9 - 12y + 4y^2 + y^2 = 41$

$5y^2 - 12y + 9 - 41 = 0$

$5y^2 - 12y - 32 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-32) = 144 + 640 = 784$

$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 28}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 28}{2 \cdot 5} = \frac{-16}{10} = -1.6$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 3 - 2y_1 = 3 - 2 \cdot 4 = 3 - 8 = -5$.

Если $y_2 = -1.6$, то $x_2 = 3 - 2y_2 = 3 - 2 \cdot (-1.6) = 3 + 3.2 = 6.2$.

Таким образом, система имеет два решения: $(-5; 4)$ и $(6.2; -1.6)$.

2. Найдем значение $a$. По условию, $a$ должно быть целым числом. Подставим поочередно каждую пару решений $(x; y)$ в уравнение $ax + 5y = 0$.

Случай 1: Пара чисел $(-5; 4)$.

$a \cdot (-5) + 5 \cdot 4 = 0$

$-5a + 20 = 0$

$-5a = -20$

$a = \frac{-20}{-5} = 4$

Значение $a = 4$ является целым числом.

Случай 2: Пара чисел $(6.2; -1.6)$.

$a \cdot (6.2) + 5 \cdot (-1.6) = 0$

$6.2a - 8 = 0$

$6.2a = 8$

$a = \frac{8}{6.2} = \frac{80}{62} = \frac{40}{31}$

Значение $a = \frac{40}{31}$ не является целым числом.

Поскольку в задаче требуется найти целое значение $a$, из двух полученных вариантов подходит только $a = 4$.

Ответ: 4