Номер 187, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

187 На рисунке 105 изображена окружность $x^2 + y^2 = 4$ и параболы $y = x^2 - 2$, $y = x^2 - 3$, $y = x^2$. Используя рисунок, установите соответствие между системой уравнений и количеством её решений.

A. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 2. \end{cases}$

Б. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 3. \end{cases}$

В. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2. \end{cases}$

1) 1; 2) 4; 3) 3; 4) 2.

А

Б

В

Рис. 105

Для определения количества решений каждой системы уравнений необходимо найти число точек пересечения графиков функций, входящих в систему. Во всех трех системах первое уравнение, $x^2 + y^2 = 4$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Второе уравнение в каждой системе задает параболу. Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и соответствующей параболы.

А. Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 - 2 \end{cases} $

Эта система соответствует графику А, на котором изображена парабола $y = x^2 - 2$ с вершиной в точке $(0, -2)$. Для нахождения количества решений решим систему аналитически. Подставим выражение для $x^2$ из второго уравнения ($x^2 = y + 2$) в первое:

$(y+2) + y^2 = 4$

$y^2 + y - 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни легко угадываются: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

1. Если $y = 1$, то $x^2 = 1 + 2 = 3$, откуда $x = \pm\sqrt{3}$. Это дает две точки пересечения: $(\sqrt{3}, 1)$ и $(-\sqrt{3}, 1)$.

2. Если $y = -2$, то $x^2 = -2 + 2 = 0$, откуда $x = 0$. Это дает одну точку пересечения: $(0, -2)$.

Всего система имеет 3 решения, что соответствует 3 точкам пересечения на графике А.

Ответ: 3

Б. Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 - 3 \end{cases} $

Эта система соответствует графику Б, на котором изображена парабола $y = x^2 - 3$ с вершиной в точке $(0, -3)$. Несмотря на то, что на рисунке Б видны только две точки пересечения, для точного ответа решим систему аналитически. Подставим $x^2 = y + 3$ в уравнение окружности:

$(y+3) + y^2 = 4$

$y^2 + y - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5$.

Корни уравнения: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

1. $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. Тогда $x^2 = y_1 + 3 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} + 3 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$. Так как $\frac{5 + \sqrt{5}}{2} > 0$, существует два различных значения $x$. Это дает две точки пересечения.

2. $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$. Тогда $x^2 = y_2 + 3 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} + 3 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$. Так как $5 > \sqrt{5}$, то $\frac{5 - \sqrt{5}}{2} > 0$, и для этого значения $y$ также существует два различных значения $x$. Это дает еще две точки пересечения.

Таким образом, система имеет 4 решения. Рисунок Б является неточным.

Ответ: 4

В. Рассмотрим систему уравнений:$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 \end{cases} $

Эта система соответствует графику В, на котором изображена парабола $y = x^2$ с вершиной в точке $(0, 0)$. Решим систему аналитически, подставив $y$ вместо $x^2$ в первое уравнение:

$y + y^2 = 4$

$y^2 + y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 1^2 - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17$.

Корни уравнения: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Из второго уравнения системы $y = x^2$ следует, что $y$ не может быть отрицательным ($y \ge 0$).

1. $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > \sqrt{1} = 1$, то $y_1 > 0$. Это допустимое значение. При этом $x^2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ дает два различных значения $x$. Это две точки пересечения.

2. $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$. Это значение очевидно отрицательное, поэтому оно не является решением, так как $x^2$ не может быть отрицательным.

Следовательно, система имеет 2 решения, что соответствует 2 точкам пересечения на графике В.

Ответ: 2