Номер 184, страница 176, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

184 a) На рисунке 101 изображена окружность $x^2 + y^2 = 20$ и прямая $y = x - 6$. Найдите координаты точки A.

б) На рисунке 102 изображена окружность $x^2 + y^2 = 2$ и прямая $y = 5x + 4$. Найдите координаты точки B.

Рис. 101

Рис. 102

а) Чтобы найти координаты точек пересечения окружности и прямой, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ y = x - 6 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (x - 6)^2 = 20$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + x^2 - 12x + 36 = 20$

$2x^2 - 12x + 36 - 20 = 0$

$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни:

$x_1 + x_2 = 6$

$x_1 \cdot x_2 = 8$

Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя уравнение прямой $y = x - 6$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 - 6 = -4$. Координаты первой точки пересечения: $(2; -4)$.

Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 4 - 6 = -2$. Координаты второй точки пересечения: $(4; -2)$.

На рисунке 101 точка А расположена левее и ниже точки В, следовательно, её абсцисса и ордината меньше. Сравнивая полученные точки $(2; -4)$ и $(4; -2)$, заключаем, что точка А имеет координаты $(2; -4)$.

Ответ: $A(2; -4)$.

б) Аналогично, для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2 \\ y = 5x + 4 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (5x + 4)^2 = 2$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$x^2 + 25x^2 + 40x + 16 = 2$

$26x^2 + 40x + 16 - 2 = 0$

$26x^2 + 40x + 14 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$13x^2 + 20x + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 13 \cdot 7 = 400 - 364 = 36$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 13} = \frac{-20 \pm 6}{26}$

Находим два корня:

$x_1 = \frac{-20 - 6}{26} = \frac{-26}{26} = -1$

$x_2 = \frac{-20 + 6}{26} = \frac{-14}{26} = -\frac{7}{13}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение прямой $y = 5x + 4$:

Если $x_1 = -1$, то $y_1 = 5(-1) + 4 = -5 + 4 = -1$. Координаты первой точки: $(-1; -1)$.

Если $x_2 = -\frac{7}{13}$, то $y_2 = 5(-\frac{7}{13}) + 4 = -\frac{35}{13} + \frac{52}{13} = \frac{17}{13}$. Координаты второй точки: $(-\frac{7}{13}; \frac{17}{13})$.

На рисунке 102 точка В расположена левее и ниже точки А. Сравнивая абсциссы $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{7}{13}$, видим, что $-1 < -\frac{7}{13}$. Следовательно, точка с абсциссой -1 является точкой В.

Ответ: $B(-1; -1)$.