Номер 191, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

191. При каких значениях $m$ парабола $y = -x^2 + m$ и окружность $x^2 + y^2 = 5$ имеют:

a) одну общую точку;

б) три общие точки.

Для нахождения общих точек параболы и окружности необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -x^2 + m \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x^2$: $x^2 = m - y$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(m - y) + y^2 = 5$

$y^2 - y + (m - 5) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Количество общих точек исходных кривых зависит от количества действительных корней этого уравнения и от выполнения условия $x^2 = m - y \ge 0$ для каждого корня $y$. Каждое значение $y$, для которого $m - y > 0$, дает две симметричные относительно оси $Oy$ точки. Если $m - y = 0$, то $x=0$, и мы получаем одну точку на оси $Oy$. Если $m - y < 0$, действительных значений $x$ не существует.

а) одну общую точку;

Система имеет одну общую точку, если существует единственная пара $(x, y)$, удовлетворяющая обоим уравнениям. Такая ситуация возможна, если парабола касается окружности в одной точке. Касание может произойти в верхней или нижней точке окружности, которые лежат на оси симметрии параболы ($x=0$).

При $x=0$ из уравнения параболы получаем $y = m$. Подставим $x=0$ и $y=m$ в уравнение окружности:

$0^2 + m^2 = 5 \implies m = \pm\sqrt{5}$.

Рассмотрим оба случая:

1. Пусть $m = \sqrt{5}$. Уравнение для $y$ принимает вид:

$y^2 - y + (\sqrt{5} - 5) = 0$.

Один корень этого уравнения (соответствующий точке касания) равен $y_1 = m = \sqrt{5}$. Для этого корня $x^2 = m - y_1 = \sqrt{5} - \sqrt{5} = 0$, что дает одно решение $x=0$. Получаем одну точку $(0, \sqrt{5})$.

По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = 1$, откуда второй корень $y_2 = 1 - y_1 = 1 - \sqrt{5}$.

Для второго корня $y_2 = 1 - \sqrt{5}$ проверим условие $x^2 \ge 0$:

$x^2 = m - y_2 = \sqrt{5} - (1 - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 1$. Так как $2\sqrt{5} = \sqrt{20} > \sqrt{1} = 1$, то $2\sqrt{5} - 1 > 0$. Это дает два различных решения для $x$: $x = \pm\sqrt{2\sqrt{5} - 1}$. Следовательно, есть еще две общие точки.

Всего при $m = \sqrt{5}$ получается $1 + 2 = 3$ общие точки.

2. Пусть $m = -\sqrt{5}$. Уравнение для $y$ принимает вид:

$y^2 - y + (-\sqrt{5} - 5) = 0 \implies y^2 - y - (5 + \sqrt{5}) = 0$.

Один корень этого уравнения $y_1 = m = -\sqrt{5}$. Для него $x^2 = m - y_1 = -\sqrt{5} - (-\sqrt{5}) = 0$, что дает одно решение $x=0$. Получаем точку $(0, -\sqrt{5})$.

По теореме Виета, $y_1 + y_2 = 1$, откуда второй корень $y_2 = 1 - y_1 = 1 - (-\sqrt{5}) = 1 + \sqrt{5}$.

Для второго корня $y_2 = 1 + \sqrt{5}$ проверим условие $x^2 \ge 0$:

$x^2 = m - y_2 = -\sqrt{5} - (1 + \sqrt{5}) = -1 - 2\sqrt{5} < 0$.

Действительных решений для $x$ в этом случае нет.

Таким образом, при $m = -\sqrt{5}$ система имеет ровно одну общую точку.

Ответ: $m = -\sqrt{5}$.

б) три общие точки.

Три общие точки получаются, когда для одного корня уравнения для $y$ существует одно решение для $x$ ($x=0$), а для другого корня — два решения для $x$ ($x \ne 0$).

Из анализа, проведенного в пункте а), следует, что такая ситуация возникает при $m = \sqrt{5}$.

При $m = \sqrt{5}$ мы получили два действительных корня для $y$:

$y_1 = \sqrt{5}$, который дает одну общую точку $(0, \sqrt{5})$.

$y_2 = 1 - \sqrt{5}$, который дает две общие точки $(\pm\sqrt{2\sqrt{5}-1}, 1-\sqrt{5})$.

В сумме это дает $1 + 2 = 3$ общие точки.

Ответ: $m = \sqrt{5}$.