Номер 190, страница 181, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

190 Используя графические представления, установите соответствие между системой уравнений и количеством её решений.

А. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y = |x| - 2. \end{cases}$

Б. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y = |x - 2|. \end{cases}$

В. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 2, \\ y = |x| + 2. \end{cases}$

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) нет решений.

Для решения данной задачи воспользуемся графическим методом. Количество решений каждой системы уравнений равно количеству точек пересечения графиков этих уравнений.

Первое уравнение во всех системах, $x^2 + y^2 = 2$, задает окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{2}$.

А.

В данной системе мы рассматриваем пересечение окружности $x^2 + y^2 = 2$ и графика функции $y = |x| - 2$.

График $y = |x| - 2$ — это график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вниз по оси ординат. Его вершина находится в точке $(0, -2)$. Самая нижняя точка окружности — $(0, -\sqrt{2})$. Так как $-2 < -\sqrt{2}$, вершина графика модуля находится под окружностью, и графики пересекаются.

Найдем точки пересечения, решив систему. Подставим $y$ из второго уравнения в первое: $x^2 + (|x| - 2)^2 = 2$. Так как $x^2 = |x|^2$, уравнение принимает вид $|x|^2 + (|x|^2 - 4|x| + 4) = 2$, или $2|x|^2 - 4|x| + 2 = 0$. Разделив на 2, получим $|x|^2 - 2|x| + 1 = 0$, что является полным квадратом $(|x| - 1)^2 = 0$.

Из этого следует, что $|x| = 1$, откуда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Для обоих значений $x$ получаем $y = 1 - 2 = -1$. Точки пересечения: $(1, -1)$ и $(-1, -1)$.

Система имеет два решения.

Ответ: 2.

Б.

В данной системе мы рассматриваем пересечение окружности $x^2 + y^2 = 2$ и графика функции $y = |x - 2|$.

График $y = |x - 2|$ — это график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вправо по оси абсцисс. Его вершина находится в точке $(2, 0)$. Самая правая точка окружности — $(\sqrt{2}, 0)$. Так как $2 > \sqrt{2}$, вершина графика модуля находится правее окружности.

Ветвь графика $y = x - 2$ (соответствующая $x \ge 2$) не может пересекать окружность, так как все точки окружности удовлетворяют условию $x \le \sqrt{2}$.

Рассмотрим ветвь $y = -(x-2) = 2-x$ (соответствующую $x < 2$). Подставим в уравнение окружности: $x^2 + (2 - x)^2 = 2$. Раскрыв скобки, получим $x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2$, или $2x^2 - 4x + 2 = 0$. После деления на 2 имеем $x^2 - 2x + 1 = 0$, то есть $(x - 1)^2 = 0$.

Корень уравнения $x = 1$. Это значение удовлетворяет условию $x < 2$. Соответствующее значение $y = 2 - 1 = 1$. Точка пересечения (касания) одна: $(1, 1)$.

Система имеет одно решение.

Ответ: 1.

В.

В данной системе мы рассматриваем пересечение окружности $x^2 + y^2 = 2$ и графика функции $y = |x| + 2$.

График $y = |x| + 2$ — это график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вверх по оси ординат. Его вершина находится в точке $(0, 2)$, и это точка с наименьшим значением $y$. Таким образом, для всех точек этого графика $y \ge 2$.

Для окружности $x^2 + y^2 = 2$ значения $y$ ограничены диапазоном $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Наибольшее значение $y$ на окружности равно $\sqrt{2} \approx 1.414$.

Поскольку минимальное значение $y$ на графике модуля (равное 2) больше максимального значения $y$ на окружности (равного $\sqrt{2}$), графики не имеют общих точек.

Система не имеет решений.

Ответ: нет решений.