Номер 188, страница 180, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

188 Используя графические представления, установите соответствие между системой уравнений и количеством её решений.

А. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 3, \\ y = 2 - x^2. \end{cases}$

Б. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 3, \\ y = 3 - x^2. \end{cases}$

В. $\begin{cases} x^2 + y^2 = 3, \\ y = 4 - x^2. \end{cases}$

1) 0; 2) 3; 3) 2; 4) 4.

Для того чтобы установить соответствие, необходимо найти количество решений для каждой системы уравнений. Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков функций, входящих в систему. Во всех трех системах первое уравнение $x^2 + y^2 = 3$ задает окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{3}$. Вторые уравнения вида $y = k - x^2$ задают параболы с вершинами в точке $(0, k)$ и ветвями, направленными вниз.

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 3, \\y = 2 - x^2.\end{cases}$Здесь парабола $y = 2 - x^2$ имеет вершину в точке $(0, 2)$.Для нахождения количества решений подставим выражение для $x^2$ из второго уравнения ($x^2 = 2 - y$) в первое:$(2 - y) + y^2 = 3$$y^2 - y - 1 = 0$Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня для $y$:$y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующие значения $x$ из уравнения $x^2 = 2 - y$.1. Для $y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.62$:$x^2 = 2 - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 - (1 + \sqrt{5})}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $3 - \sqrt{5} > 0$, следовательно, $x^2 > 0$. Уравнение имеет два различных корня для $x$.2. Для $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.62$:$x^2 = 2 - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{4 - (1 - \sqrt{5})}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.Это значение положительно ($x^2 > 0$), следовательно, уравнение также имеет два различных корня для $x$.Итого, система имеет $2 + 2 = 4$ решения, что соответствует варианту 4).

Ответ: 4.

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 3, \\y = 3 - x^2.\end{cases}$Парабола $y = 3 - x^2$ имеет вершину в точке $(0, 3)$.Подставим $x^2 = 3 - y$ из второго уравнения в первое:$(3 - y) + y^2 = 3$$y^2 - y = 0$$y(y - 1) = 0$Уравнение имеет два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = 1$.Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующие значения $x$ из $x^2 = 3 - y$.1. Для $y_1 = 0$:$x^2 = 3 - 0 = 3$.Уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$. Это дает две точки пересечения: $(\sqrt{3}, 0)$ и $(-\sqrt{3}, 0)$.2. Для $y_2 = 1$:$x^2 = 3 - 1 = 2$.Уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$. Это дает еще две точки пересечения: $(\sqrt{2}, 1)$ и $(-\sqrt{2}, 1)$.Таким образом, система имеет $2 + 2 = 4$ решения, что соответствует варианту 4).

Ответ: 4.

Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 3, \\y = 4 - x^2.\end{cases}$Парабола $y = 4 - x^2$ имеет вершину в точке $(0, 4)$.Подставим $x^2 = 4 - y$ из второго уравнения в первое:$(4 - y) + y^2 = 3$$y^2 - y + 1 = 0$Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней для $y$. Это означает, что графики окружности и параболы не пересекаются.Следовательно, система не имеет решений. Это соответствует варианту 1).

Ответ: 0.