Номер 178, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

178 а) На рисунке 95 изображены графики функций $y = -x^2 - 4x$ и $y = 2x + 5$. Найдите координаты точки C.

б) На рисунке 96 изображены графики функций $y = x^2 - 4x$ и $y = -2x + 3$. Найдите координаты точки C.

Рис. 95

Рис. 96

а) Чтобы найти координаты точки пересечения C, необходимо найти общее решение для системы уравнений, которые описывают данные графики. Точки пересечения — это точки, в которых значения $x$ и $y$ для обеих функций совпадают.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -x^2 - 4x \\ y = 2x + 5 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y=y$):

$-x^2 - 4x = 2x + 5$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 4x + 2x + 5 = 0$

$x^2 + 6x + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $5$. Корни легко подбираются: $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, мы нашли абсциссы двух точек пересечения графиков. Из рисунка 95 видно, что точка C — это та точка пересечения, которая находится левее, то есть имеет меньшую абсциссу. Сравнивая $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$, выбираем меньшее значение: $x = -5$.

Теперь найдем соответствующую ординату (координату $y$), подставив значение $x = -5$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение прямой:

$y = 2x + 5 = 2(-5) + 5 = -10 + 5 = -5$

Следовательно, координаты точки C равны $(-5, -5)$.

Ответ: $(-5, -5)$.

б) Аналогично предыдущему пункту, найдем координаты точки C, решив систему уравнений для графиков, изображенных на рисунке 96.

Система уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 - 4x \\ y = -2x + 3 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 4x = -2x + 3$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 4x + 2x - 3 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а произведение равно $-3$. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Мы получили абсциссы двух точек пересечения. На рисунке 96 точка C расположена во второй координатной четверти, что означает, что ее абсцисса должна быть отрицательной, а ордината — положительной. Из двух найденных абсцисс ($3$ и $-1$) отрицательной является $x = -1$.

Найдем ординату точки C, подставив $x = -1$ в уравнение прямой:

$y = -2x + 3 = -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$

Итак, координаты точки C равны $(-1, 5)$.

Ответ: $(-1, 5)$.