Номер 173, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

173. Постройте график функции $y = |x^2 - 4x|$. При каких значениях $m$ график данной функции будет иметь с прямой $y = m$ три общие точки?

Постройте график функции $y = |x^2 - 4x|$.

Чтобы построить график функции $y = |x^2 - 4x|$, мы сначала построим график параболы $y_1 = x^2 - 4x$, а затем применим операцию взятия модуля.

1. Анализ функции $y_1 = x^2 - 4x$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение точек пересечения с осью Ox (нулей функции).
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

3. Нахождение вершины параболы.
Координата $x$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Координата $y$ вершины: $y_v = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.
Вершина параболы $y_1 = x^2 - 4x$ находится в точке $(2, -4)$.

4. Построение графика $y = |x^2 - 4x|$.
Операция взятия модуля $|f(x)|$ означает, что часть графика $f(x)$, которая лежит ниже оси Ox, должна быть отражена симметрично относительно этой оси, а часть, которая лежит выше или на оси, остается без изменений.
Для параболы $y_1 = x^2 - 4x$ отрицательные значения находятся на интервале $(0, 4)$. Эту часть графика мы отражаем вверх. Вершина $(2, -4)$ переходит в точку $(2, 4)$, которая становится точкой локального максимума нового графика.

Ответ: График функции $y = |x^2 - 4x|$ получен из параболы $y = x^2 - 4x$ путем симметричного отражения ее части, расположенной ниже оси абсцисс (на интервале $x \in (0, 4)$), относительно этой оси. График имеет точки "излома" на оси Ox в $(0,0)$ и $(4,0)$ и локальный максимум в точке $(2,4)$.

При каких значениях $m$ график данной функции будет иметь с прямой $y = m$ три общие точки?

Количество общих точек графика функции $y = |x^2 - 4x|$ и прямой $y = m$ соответствует количеству решений уравнения $|x^2 - 4x| = m$. Проанализируем это количество, используя построенный график. Прямая $y=m$ — это горизонтальная линия.

Рассмотрим различные значения $m$:
- Если $m < 0$, прямая находится ниже оси Ox, и общих точек с графиком нет, так как значение модуля не может быть отрицательным.
- Если $m = 0$, прямая $y = 0$ (ось Ox) имеет с графиком две общие точки: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.
- Если $0 < m < 4$, прямая пересекает график в четырех точках.
- Если $m = 4$, прямая $y = 4$ проходит через локальный максимум графика в точке $(2, 4)$ (касание) и пересекает две другие ветви графика. В этом случае имеется ровно три общие точки.
- Если $m > 4$, прямая пересекает график в двух точках.
Таким образом, условие о трех общих точках выполняется только в одном случае.

Ответ: $m=4$.