Номер 166, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

166 Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^2 - 2x}{x}$;

б) $y = \frac{16 - x^2}{x - 4}$;

в) $y = \frac{3x - 3x^2}{x - 1}$;

г) $y = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$.

а) $y = \frac{x^2 - 2x}{x}$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Вынесем в числителе общий множитель $x$ за скобки:
$y = \frac{x(x - 2)}{x}$

3. Сократим дробь на $x$, так как из ОДЗ известно, что $x \neq 0$:
$y = x - 2$

4. Мы получили линейную функцию $y = x - 2$. Ее график — это прямая линия. Однако, поскольку исходная функция не определена в точке $x = 0$, на графике этой прямой будет "выколотая" точка (точка разрыва).

5. Найдем координаты этой точки. Для этого подставим значение $x = 0$ в упрощенную функцию: $y = 0 - 2 = -2$. Следовательно, точка с координатами $(0; -2)$ не принадлежит графику функции.

6. Для построения прямой $y = x - 2$ найдем координаты двух любых точек, принадлежащих ей:
Если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2; 0)$.
Если $x = -1$, то $y = -1 - 2 = -3$. Точка $(-1; -3)$.

Таким образом, график исходной функции — это прямая, проходящая через точки $(2; 0)$ и $(-1; -3)$, с выколотой точкой в месте разрыва $(0; -2)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(0; -2)$.

б) $y = \frac{16 - x^2}{x - 4}$

1. Область определения функции: знаменатель $x - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Упростим функцию. Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$16 - x^2 = (4 - x)(4 + x)$.
Функция примет вид: $y = \frac{(4 - x)(4 + x)}{x - 4}$.

3. Вынесем в числителе множитель $-1$ за скобку, чтобы получить выражение, которое можно сократить: $(4 - x) = -(x - 4)$.
$y = \frac{-(x - 4)(x + 4)}{x - 4}$.
Сократим дробь на $(x - 4)$, так как $x \neq 4$:
$y = -(x + 4)$
$y = -x - 4$.

4. Графиком функции $y = -x - 4$ является прямая. Из-за ограничения $x \neq 4$ на этой прямой будет выколотая точка.

5. Найдем координаты выколотой точки. При $x = 4$, $y = -4 - 4 = -8$. Точка $(4; -8)$ не принадлежит графику.

6. Для построения прямой $y = -x - 4$ найдем две точки (например, точки пересечения с осями координат):
Если $x = 0$, то $y = -0 - 4 = -4$. Точка $(0; -4)$.
Если $y = 0$, то $0 = -x - 4$, откуда $x = -4$. Точка $(-4; 0)$.

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0; -4)$ и $(-4; 0)$, с выколотой точкой $(4; -8)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x - 4$ с выколотой точкой $(4; -8)$.

в) $y = \frac{3x - 3x^2}{x - 1}$

1. Область определения функции: знаменатель $x - 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упростим функцию. В числителе вынесем за скобки общий множитель $-3x$ для удобства последующего сокращения:
$3x - 3x^2 = -3x(x - 1)$.
Функция примет вид: $y = \frac{-3x(x - 1)}{x - 1}$.

3. Сократим дробь на $(x - 1)$, так как $x \neq 1$:
$y = -3x$.

4. Графиком функции $y = -3x$ является прямая, проходящая через начало координат. На прямой будет выколотая точка, так как $x \neq 1$.

5. Найдем координаты выколотой точки. При $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 = -3$. Точка $(1; -3)$ не принадлежит графику.

6. Для построения прямой $y = -3x$ найдем две точки:
Прямая проходит через начало координат, точка $(0; 0)$.
Если $x = -1$, то $y = -3 \cdot (-1) = 3$. Точка $(-1; 3)$.

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(-1; 3)$, с выколотой точкой $(1; -3)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -3x$ с выколотой точкой $(1; -3)$.

г) $y = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$

1. Область определения функции: знаменатель $x + 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

2. Упростим функцию. Разложим числитель по формуле разности квадратов:
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Функция примет вид: $y = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$.

3. Сократим дробь на $(x + 3)$, так как $x \neq -3$:
$y = x - 3$.

4. Графиком функции $y = x - 3$ является прямая. На прямой будет выколотая точка, так как $x \neq -3$.

5. Найдем координаты выколотой точки. При $x = -3$, $y = -3 - 3 = -6$. Точка $(-3; -6)$ не принадлежит графику.

6. Для построения прямой $y = x - 3$ найдем две точки:
Если $x = 0$, то $y = 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
Если $x = 3$, то $y = 3 - 3 = 0$. Точка $(3; 0)$.

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0; -3)$ и $(3; 0)$, с выколотой точкой $(-3; -6)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(-3; -6)$.