Номер 164, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

164 a) Найдите наименьшее значение функции $y = - \frac{12}{x^2 + 2}$.

б) Найдите наименьшее значение функции $y = 1 - \frac{10}{x^2 + 2}$.

а)

Рассмотрим функцию $y = -\frac{12}{x^2 + 2}$.

Чтобы найти наименьшее значение функции $y$, необходимо найти наибольшее значение дроби $\frac{12}{x^2 + 2}$, поскольку перед ней стоит знак минус. Чем больше значение мы вычитаем (а знак "минус" перед дробью можно трактовать как вычитание из нуля), тем меньше результат.

Значение дроби с постоянным положительным числителем будет наибольшим, когда ее знаменатель будет наименьшим.

Рассмотрим знаменатель $x^2 + 2$. Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$.

Наименьшее значение выражения $x^2$ равно 0, и оно достигается при $x=0$.

Следовательно, наименьшее значение знаменателя $x^2 + 2$ равно $0 + 2 = 2$.

Теперь мы можем найти наибольшее значение дроби:

$\max\left(\frac{12}{x^2 + 2}\right) = \frac{12}{\min(x^2 + 2)} = \frac{12}{2} = 6$.

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ равно:

$y_{min} = - \max\left(\frac{12}{x^2 + 2}\right) = -6$.

Ответ: -6.

б)

Рассмотрим функцию $y = 1 - \frac{10}{x^2 + 2}$.

Чтобы найти наименьшее значение функции $y$, необходимо из 1 вычесть как можно большее число. Это означает, что нам нужно найти наибольшее значение дроби $\frac{10}{x^2 + 2}$.

Дробь $\frac{10}{x^2 + 2}$ принимает свое наибольшее значение, когда ее знаменатель $x^2 + 2$ принимает наименьшее значение.

Как и в предыдущем пункте, выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), и его наименьшее значение равно 0 (при $x=0$).

Следовательно, наименьшее значение знаменателя $x^2 + 2$ равно $0 + 2 = 2$.

Найдем наибольшее значение дроби:

$\max\left(\frac{10}{x^2 + 2}\right) = \frac{10}{\min(x^2 + 2)} = \frac{10}{2} = 5$.

Теперь мы можем найти наименьшее значение исходной функции $y$, подставив найденное максимальное значение дроби в выражение:

$y_{min} = 1 - \max\left(\frac{10}{x^2 + 2}\right) = 1 - 5 = -4$.

Ответ: -4.