Номер 167, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

167 Постройте график функции:

a) $y = - \frac{4x + 4}{x^2 + x}$;

б) $y = \frac{x - 2}{x^2 - 4}$;

в) $y = \frac{6x - 30}{x^2 - 5x}$;

г) $y = \frac{x + 1}{1 - x^2}$.

а) Рассмотрим функцию $y = -\frac{4x + 4}{x^2 + x}$.
1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x^2 + x \ne 0 \Rightarrow x(x+1) \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 0$ и $x \ne -1$.
2. Упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители: $y = -\frac{4(x + 1)}{x(x + 1)}$.
Так как по ОДЗ $x \ne -1$, мы можем сократить дробь на множитель $(x+1)$: $y = -\frac{4}{x}$.
3. Проанализируем график. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{4}{x}$ для всех $x$ из области определения. График $y = -\frac{4}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
4. Найдём "выколотую" точку. Исходная функция не определена при $x = -1$. Это точка разрыва. Чтобы найти её координаты, подставим значение $x = -1$ в упрощенную функцию: $y(-1) = -\frac{4}{-1} = 4$.
Следовательно, точка с координатами $(-1, 4)$ не принадлежит графику, она "выколота".
Таким образом, для построения графика нужно начертить гиперболу $y = -\frac{4}{x}$ и отметить на ней точку $(-1, 4)$ пустым кружком.
Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{4}{x}$ с выколотой точкой $(-1, 4)$.

б) Рассмотрим функцию $y = \frac{x - 2}{x^2 - 4}$.
1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 4 \ne 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 2$ и $x \ne -2$.
2. Упростим выражение. Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов: $y = \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)}$.
Так как по ОДЗ $x \ne 2$, мы можем сократить дробь на множитель $(x-2)$: $y = \frac{1}{x + 2}$.
3. Проанализируем график. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x+2}$. Это гипербола $y=\frac{1}{x}$, смещенная на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота: $x = -2$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
4. Найдём "выколотую" точку. Исходная функция не определена при $x = 2$. Чтобы найти координаты этой точки разрыва, подставим $x = 2$ в упрощенную функцию: $y(2) = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$.
Следовательно, точка с координатами $(2, \frac{1}{4})$ является выколотой.
Для построения графика нужно начертить гиперболу $y = \frac{1}{x+2}$ и отметить на ней точку $(2, \frac{1}{4})$ пустым кружком.
Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{1}{x+2}$ с выколотой точкой $(2, \frac{1}{4})$.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{6x - 30}{x^2 - 5x}$.
1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 5x \ne 0 \Rightarrow x(x-5) \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 0$ и $x \ne 5$.
2. Упростим выражение. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе: $y = \frac{6(x - 5)}{x(x - 5)}$.
Так как по ОДЗ $x \ne 5$, мы можем сократить дробь на множитель $(x-5)$: $y = \frac{6}{x}$.
3. Проанализируем график. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{6}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат: $x=0$ и $y=0$.
4. Найдём "выколотую" точку. Исходная функция не определена при $x = 5$. Найдем координаты этой точки разрыва, подставив $x = 5$ в упрощенную функцию: $y(5) = \frac{6}{5} = 1.2$.
Следовательно, точка с координатами $(5, \frac{6}{5})$ является выколотой.
Для построения графика нужно начертить гиперболу $y = \frac{6}{x}$ и отметить на ней точку $(5, \frac{6}{5})$ пустым кружком.
Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{6}{x}$ с выколотой точкой $(5, \frac{6}{5})$.

г) Рассмотрим функцию $y = \frac{x + 1}{1 - x^2}$.
1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $1 - x^2 \ne 0 \Rightarrow (1-x)(1+x) \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 1$ и $x \ne -1$.
2. Упростим выражение. Разложим знаменатель на множители: $y = \frac{x + 1}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{x+1}{-(x-1)(x+1)}$.
Так как по ОДЗ $x \ne -1$, мы можем сократить дробь на множитель $(x+1)$: $y = \frac{1}{-(x - 1)} = -\frac{1}{x - 1}$.
3. Проанализируем график. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{1}{x-1}$. Это гипербола $y=-\frac{1}{x}$, смещенная на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота: $x = 1$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
4. Найдём "выколотую" точку. Исходная функция не определена при $x = -1$. Найдем координаты этой точки разрыва, подставив $x = -1$ в упрощенную функцию: $y(-1) = -\frac{1}{-1 - 1} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, точка с координатами $(-1, \frac{1}{2})$ является выколотой.
Для построения графика нужно начертить гиперболу $y = -\frac{1}{x-1}$ и отметить на ней точку $(-1, \frac{1}{2})$ пустым кружком.
Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{1}{x-1}$ с выколотой точкой $(-1, \frac{1}{2})$.