Страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

162 a) Найдите наибольшее значение функции $y = 11 - \sqrt{x^2 - 4x + 3}$.

б) Найдите наименьшее значение функции $y = 17 + \sqrt{x^2 + 5x + 6}$.

a) Чтобы найти наибольшее значение функции $y = 11 - \sqrt{x^2 - 4x + 3}$, необходимо найти наименьшее возможное значение вычитаемого выражения $\sqrt{x^2 - 4x + 3}$.
Выражение, стоящее под знаком корня, должно быть неотрицательным. Это определяет область определения функции: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Поскольку это парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.
Наименьшее значение выражения $x^2 - 4x + 3$ на этой области определения достигается в точках $x=1$ и $x=3$ и равно 0.
Следовательно, наименьшее значение выражения $\sqrt{x^2 - 4x + 3}$ равно $\sqrt{0} = 0$.
Тогда наибольшее значение функции $y$ равно: $y_{наиб} = 11 - 0 = 11$.
Ответ: 11

б) Чтобы найти наименьшее значение функции $y = 17 + \sqrt{x^2 + 5x + 6}$, необходимо найти наименьшее возможное значение слагаемого $\sqrt{x^2 + 5x + 6}$.
Выражение под корнем должно быть неотрицательным, что задает область определения функции: $x^2 + 5x + 6 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство справедливо при $x \in (-\infty, -3] \cup [-2, \infty)$.
Наименьшее значение подкоренного выражения $x^2 + 5x + 6$ на его области определения равно 0. Это значение достигается при $x=-2$ и $x=-3$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $\sqrt{x^2 + 5x + 6}$ равно $\sqrt{0} = 0$.
Тогда наименьшее значение функции $y$ равно: $y_{наим} = 17 + 0 = 17$.
Ответ: 17

163 a) Найдите значение $b$, при котором прямая $x = 2$ является осью симметрии параболы $y=3x^2+bx+7$.

б) Найдите значение $b$, при котором прямая $x = -2$ является осью симметрии параболы $y=-5x^2+bx+3$.

а)

Ось симметрии параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, является вертикальная прямая, проходящая через её вершину. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В уравнении параболы $y = 3x^2 + bx + 7$ коэффициент $a = 3$. По условию задачи, осью симметрии является прямая $x = 2$, следовательно, абсцисса вершины $x_0 = 2$.

Подставим известные значения в формулу и решим получившееся уравнение относительно $b$:
$2 = -\frac{b}{2 \cdot 3}$
$2 = -\frac{b}{6}$
$b = -2 \cdot 6$
$b = -12$

Ответ: $b = -12$.

б)

Аналогично пункту а), используем формулу для абсциссы вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для параболы $y = -5x^2 + bx + 3$ коэффициент $a = -5$. По условию, осью симметрии является прямая $x = -2$, следовательно, $x_0 = -2$.

Подставим известные значения в формулу и найдем $b$:
$-2 = -\frac{b}{2 \cdot (-5)}$
$-2 = -\frac{b}{-10}$
$-2 = \frac{b}{10}$
$b = -2 \cdot 10$
$b = -20$

Ответ: $b = -20$.

164 a) Найдите наименьшее значение функции $y = - \frac{12}{x^2 + 2}$.

б) Найдите наименьшее значение функции $y = 1 - \frac{10}{x^2 + 2}$.

а)

Рассмотрим функцию $y = -\frac{12}{x^2 + 2}$.

Чтобы найти наименьшее значение функции $y$, необходимо найти наибольшее значение дроби $\frac{12}{x^2 + 2}$, поскольку перед ней стоит знак минус. Чем больше значение мы вычитаем (а знак "минус" перед дробью можно трактовать как вычитание из нуля), тем меньше результат.

Значение дроби с постоянным положительным числителем будет наибольшим, когда ее знаменатель будет наименьшим.

Рассмотрим знаменатель $x^2 + 2$. Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$.

Наименьшее значение выражения $x^2$ равно 0, и оно достигается при $x=0$.

Следовательно, наименьшее значение знаменателя $x^2 + 2$ равно $0 + 2 = 2$.

Теперь мы можем найти наибольшее значение дроби:

$\max\left(\frac{12}{x^2 + 2}\right) = \frac{12}{\min(x^2 + 2)} = \frac{12}{2} = 6$.

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ равно:

$y_{min} = - \max\left(\frac{12}{x^2 + 2}\right) = -6$.

Ответ: -6.

б)

Рассмотрим функцию $y = 1 - \frac{10}{x^2 + 2}$.

Чтобы найти наименьшее значение функции $y$, необходимо из 1 вычесть как можно большее число. Это означает, что нам нужно найти наибольшее значение дроби $\frac{10}{x^2 + 2}$.

Дробь $\frac{10}{x^2 + 2}$ принимает свое наибольшее значение, когда ее знаменатель $x^2 + 2$ принимает наименьшее значение.

Как и в предыдущем пункте, выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), и его наименьшее значение равно 0 (при $x=0$).

Следовательно, наименьшее значение знаменателя $x^2 + 2$ равно $0 + 2 = 2$.

Найдем наибольшее значение дроби:

$\max\left(\frac{10}{x^2 + 2}\right) = \frac{10}{\min(x^2 + 2)} = \frac{10}{2} = 5$.

Теперь мы можем найти наименьшее значение исходной функции $y$, подставив найденное максимальное значение дроби в выражение:

$y_{min} = 1 - \max\left(\frac{10}{x^2 + 2}\right) = 1 - 5 = -4$.

Ответ: -4.

165 a) Найдите наибольшее значение функции $y = 3 + \frac{12}{\sqrt{x^2 + 36}}$.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = \frac{14}{\sqrt{x^2 + 49}}$.

а)

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = 3 + \frac{12}{\sqrt{x^2 + 36}}$, необходимо найти наибольшее значение слагаемого $\frac{12}{\sqrt{x^2 + 36}}$, так как 3 является константой.
Дробь с постоянным положительным числителем принимает наибольшее значение, когда ее знаменатель принимает наименьшее значение. Следовательно, нам нужно найти наименьшее значение выражения $\sqrt{x^2 + 36}$.
Значение квадратного корня минимально, когда минимально подкоренное выражение. Рассмотрим выражение $x^2 + 36$.
Выражение $x^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его наименьшее значение равно 0. Это значение достигается при $x = 0$.
Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения $x^2 + 36$ равно $0 + 36 = 36$.
Тогда наименьшее значение знаменателя $\sqrt{x^2 + 36}$ равно $\sqrt{36} = 6$.
Подставим это значение в дробь, чтобы найти ее наибольшее значение: $\frac{12}{6} = 2$.
Теперь мы можем найти наибольшее значение исходной функции: $y_{max} = 3 + 2 = 5$.
Ответ: 5.

б)

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = \frac{14}{\sqrt{x^2 + 49}}$, необходимо найти наименьшее значение знаменателя $\sqrt{x^2 + 49}$, так как числитель 14 — это константа.
Знаменатель $\sqrt{x^2 + 49}$ принимает наименьшее значение, когда подкоренное выражение $x^2 + 49$ минимально.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x = 0$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $x^2 + 49$ равно $0 + 49 = 49$.
Тогда наименьшее значение знаменателя равно $\sqrt{49} = 7$.
Таким образом, наибольшее значение функции $y$ равно $\frac{14}{7} = 2$.
Ответ: 2.

166 Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^2 - 2x}{x}$;

б) $y = \frac{16 - x^2}{x - 4}$;

в) $y = \frac{3x - 3x^2}{x - 1}$;

г) $y = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$.

а) $y = \frac{x^2 - 2x}{x}$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Вынесем в числителе общий множитель $x$ за скобки:
$y = \frac{x(x - 2)}{x}$

3. Сократим дробь на $x$, так как из ОДЗ известно, что $x \neq 0$:
$y = x - 2$

4. Мы получили линейную функцию $y = x - 2$. Ее график — это прямая линия. Однако, поскольку исходная функция не определена в точке $x = 0$, на графике этой прямой будет "выколотая" точка (точка разрыва).

5. Найдем координаты этой точки. Для этого подставим значение $x = 0$ в упрощенную функцию: $y = 0 - 2 = -2$. Следовательно, точка с координатами $(0; -2)$ не принадлежит графику функции.

6. Для построения прямой $y = x - 2$ найдем координаты двух любых точек, принадлежащих ей:
Если $x = 2$, то $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2; 0)$.
Если $x = -1$, то $y = -1 - 2 = -3$. Точка $(-1; -3)$.

Таким образом, график исходной функции — это прямая, проходящая через точки $(2; 0)$ и $(-1; -3)$, с выколотой точкой в месте разрыва $(0; -2)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(0; -2)$.

б) $y = \frac{16 - x^2}{x - 4}$

1. Область определения функции: знаменатель $x - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Упростим функцию. Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$16 - x^2 = (4 - x)(4 + x)$.
Функция примет вид: $y = \frac{(4 - x)(4 + x)}{x - 4}$.

3. Вынесем в числителе множитель $-1$ за скобку, чтобы получить выражение, которое можно сократить: $(4 - x) = -(x - 4)$.
$y = \frac{-(x - 4)(x + 4)}{x - 4}$.
Сократим дробь на $(x - 4)$, так как $x \neq 4$:
$y = -(x + 4)$
$y = -x - 4$.

4. Графиком функции $y = -x - 4$ является прямая. Из-за ограничения $x \neq 4$ на этой прямой будет выколотая точка.

5. Найдем координаты выколотой точки. При $x = 4$, $y = -4 - 4 = -8$. Точка $(4; -8)$ не принадлежит графику.

6. Для построения прямой $y = -x - 4$ найдем две точки (например, точки пересечения с осями координат):
Если $x = 0$, то $y = -0 - 4 = -4$. Точка $(0; -4)$.
Если $y = 0$, то $0 = -x - 4$, откуда $x = -4$. Точка $(-4; 0)$.

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0; -4)$ и $(-4; 0)$, с выколотой точкой $(4; -8)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x - 4$ с выколотой точкой $(4; -8)$.

в) $y = \frac{3x - 3x^2}{x - 1}$

1. Область определения функции: знаменатель $x - 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упростим функцию. В числителе вынесем за скобки общий множитель $-3x$ для удобства последующего сокращения:
$3x - 3x^2 = -3x(x - 1)$.
Функция примет вид: $y = \frac{-3x(x - 1)}{x - 1}$.

3. Сократим дробь на $(x - 1)$, так как $x \neq 1$:
$y = -3x$.

4. Графиком функции $y = -3x$ является прямая, проходящая через начало координат. На прямой будет выколотая точка, так как $x \neq 1$.

5. Найдем координаты выколотой точки. При $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 = -3$. Точка $(1; -3)$ не принадлежит графику.

6. Для построения прямой $y = -3x$ найдем две точки:
Прямая проходит через начало координат, точка $(0; 0)$.
Если $x = -1$, то $y = -3 \cdot (-1) = 3$. Точка $(-1; 3)$.

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(-1; 3)$, с выколотой точкой $(1; -3)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -3x$ с выколотой точкой $(1; -3)$.

г) $y = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$

1. Область определения функции: знаменатель $x + 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$. Область определения: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

2. Упростим функцию. Разложим числитель по формуле разности квадратов:
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Функция примет вид: $y = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$.

3. Сократим дробь на $(x + 3)$, так как $x \neq -3$:
$y = x - 3$.

4. Графиком функции $y = x - 3$ является прямая. На прямой будет выколотая точка, так как $x \neq -3$.

5. Найдем координаты выколотой точки. При $x = -3$, $y = -3 - 3 = -6$. Точка $(-3; -6)$ не принадлежит графику.

6. Для построения прямой $y = x - 3$ найдем две точки:
Если $x = 0$, то $y = 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
Если $x = 3$, то $y = 3 - 3 = 0$. Точка $(3; 0)$.

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0; -3)$ и $(3; 0)$, с выколотой точкой $(-3; -6)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(-3; -6)$.

167 Постройте график функции:

a) $y = - \frac{4x + 4}{x^2 + x}$;

б) $y = \frac{x - 2}{x^2 - 4}$;

в) $y = \frac{6x - 30}{x^2 - 5x}$;

г) $y = \frac{x + 1}{1 - x^2}$.

а) Рассмотрим функцию $y = -\frac{4x + 4}{x^2 + x}$.
1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x^2 + x \ne 0 \Rightarrow x(x+1) \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 0$ и $x \ne -1$.
2. Упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители: $y = -\frac{4(x + 1)}{x(x + 1)}$.
Так как по ОДЗ $x \ne -1$, мы можем сократить дробь на множитель $(x+1)$: $y = -\frac{4}{x}$.
3. Проанализируем график. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{4}{x}$ для всех $x$ из области определения. График $y = -\frac{4}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
4. Найдём "выколотую" точку. Исходная функция не определена при $x = -1$. Это точка разрыва. Чтобы найти её координаты, подставим значение $x = -1$ в упрощенную функцию: $y(-1) = -\frac{4}{-1} = 4$.
Следовательно, точка с координатами $(-1, 4)$ не принадлежит графику, она "выколота".
Таким образом, для построения графика нужно начертить гиперболу $y = -\frac{4}{x}$ и отметить на ней точку $(-1, 4)$ пустым кружком.
Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{4}{x}$ с выколотой точкой $(-1, 4)$.

б) Рассмотрим функцию $y = \frac{x - 2}{x^2 - 4}$.
1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 4 \ne 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 2$ и $x \ne -2$.
2. Упростим выражение. Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов: $y = \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)}$.
Так как по ОДЗ $x \ne 2$, мы можем сократить дробь на множитель $(x-2)$: $y = \frac{1}{x + 2}$.
3. Проанализируем график. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x+2}$. Это гипербола $y=\frac{1}{x}$, смещенная на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота: $x = -2$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
4. Найдём "выколотую" точку. Исходная функция не определена при $x = 2$. Чтобы найти координаты этой точки разрыва, подставим $x = 2$ в упрощенную функцию: $y(2) = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$.
Следовательно, точка с координатами $(2, \frac{1}{4})$ является выколотой.
Для построения графика нужно начертить гиперболу $y = \frac{1}{x+2}$ и отметить на ней точку $(2, \frac{1}{4})$ пустым кружком.
Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{1}{x+2}$ с выколотой точкой $(2, \frac{1}{4})$.

в) Рассмотрим функцию $y = \frac{6x - 30}{x^2 - 5x}$.
1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 5x \ne 0 \Rightarrow x(x-5) \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 0$ и $x \ne 5$.
2. Упростим выражение. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе: $y = \frac{6(x - 5)}{x(x - 5)}$.
Так как по ОДЗ $x \ne 5$, мы можем сократить дробь на множитель $(x-5)$: $y = \frac{6}{x}$.
3. Проанализируем график. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = \frac{6}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат: $x=0$ и $y=0$.
4. Найдём "выколотую" точку. Исходная функция не определена при $x = 5$. Найдем координаты этой точки разрыва, подставив $x = 5$ в упрощенную функцию: $y(5) = \frac{6}{5} = 1.2$.
Следовательно, точка с координатами $(5, \frac{6}{5})$ является выколотой.
Для построения графика нужно начертить гиперболу $y = \frac{6}{x}$ и отметить на ней точку $(5, \frac{6}{5})$ пустым кружком.
Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{6}{x}$ с выколотой точкой $(5, \frac{6}{5})$.

г) Рассмотрим функцию $y = \frac{x + 1}{1 - x^2}$.
1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $1 - x^2 \ne 0 \Rightarrow (1-x)(1+x) \ne 0$. Отсюда следует, что $x \ne 1$ и $x \ne -1$.
2. Упростим выражение. Разложим знаменатель на множители: $y = \frac{x + 1}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{x+1}{-(x-1)(x+1)}$.
Так как по ОДЗ $x \ne -1$, мы можем сократить дробь на множитель $(x+1)$: $y = \frac{1}{-(x - 1)} = -\frac{1}{x - 1}$.
3. Проанализируем график. График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{1}{x-1}$. Это гипербола $y=-\frac{1}{x}$, смещенная на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота: $x = 1$. Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
4. Найдём "выколотую" точку. Исходная функция не определена при $x = -1$. Найдем координаты этой точки разрыва, подставив $x = -1$ в упрощенную функцию: $y(-1) = -\frac{1}{-1 - 1} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, точка с координатами $(-1, \frac{1}{2})$ является выколотой.
Для построения графика нужно начертить гиперболу $y = -\frac{1}{x-1}$ и отметить на ней точку $(-1, \frac{1}{2})$ пустым кружком.
Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{1}{x-1}$ с выколотой точкой $(-1, \frac{1}{2})$.

168 Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^3 - 4x}{x + 2}$;

б) $y = \frac{x^4 - x^3 - x^2 + x}{x^2 + x}$;

в) $y = \frac{x^3 + x^2 - 9x - 9}{x - 3}$;

г) $y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{x^2 - x - 2}$.

а)

Дана функция $y = \frac{x^3 - 4x}{x + 2}$.

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.

2. Упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители:

$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$.

Тогда функция примет вид:

$y = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$.

Поскольку $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x + 2)$:

$y = x(x - 2) = x^2 - 2x$.

3. Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 2x$ во всех точках, кроме точки, где $x = -2$.

4. Построим график параболы $y = x^2 - 2x$.

- Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 1$).

- Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

- $y_0 = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$.

- Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: $x = 0$, $y = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью Ox: $y = 0$, $x^2 - 2x = 0$, $x(x - 2) = 0$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

5. Найдем координаты "выколотой" точки. При $x = -2$ значение функции $y = x^2 - 2x$ равно:

$y = (-2)^2 - 2(-2) = 4 + 4 = 8$.

Следовательно, точка $(-2, 8)$ не принадлежит графику исходной функции. Эту точку на графике параболы нужно "выколоть" (обозначить пустым кружком).

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 - 2x$ с выколотой точкой $(-2, 8)$.

б)

Дана функция $y = \frac{x^4 - x^3 - x^2 + x}{x^2 + x}$.

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю: $x^2 + x \neq 0$, $x(x + 1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

2. Упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^4 - x^3 - x^2 + x = (x^4 - x^3) - (x^2 - x) = x^3(x - 1) - x(x - 1) = (x - 1)(x^3 - x) = (x - 1)x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x - 1)(x + 1) = x(x + 1)(x - 1)^2$.

Знаменатель: $x^2 + x = x(x + 1)$.

Подставим в функцию:

$y = \frac{x(x + 1)(x - 1)^2}{x(x + 1)}$.

Учитывая область определения ($x \neq 0, x \neq -1$), сократим дробь:

$y = (x - 1)^2$.

3. График исходной функции — это парабола $y = (x - 1)^2$ с выколотыми точками при $x = 0$ и $x = -1$.

4. График функции $y = (x - 1)^2$ — это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вправо по оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$.

5. Найдем координаты выколотых точек:

- При $x = 0$: $y = (0 - 1)^2 = 1$. Выколотая точка $(0, 1)$.

- При $x = -1$: $y = (-1 - 1)^2 = (-2)^2 = 4$. Выколотая точка $(-1, 4)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = (x - 1)^2$ с выколотыми точками $(0, 1)$ и $(-1, 4)$.

в)

Дана функция $y = \frac{x^3 + x^2 - 9x - 9}{x - 3}$.

1. Область определения: $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

2. Упростим функцию. Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^3 + x^2 - 9x - 9 = x^2(x + 1) - 9(x + 1) = (x^2 - 9)(x + 1) = (x - 3)(x + 3)(x + 1)$.

Подставим в функцию:

$y = \frac{(x - 3)(x + 3)(x + 1)}{x - 3}$.

При $x \neq 3$ сокращаем дробь:

$y = (x + 3)(x + 1) = x^2 + 4x + 3$.

3. График исходной функции — это парабола $y = x^2 + 4x + 3$ с выколотой точкой при $x = 3$.

4. Построим параболу $y = x^2 + 4x + 3$.

- Ветви вверх ($a = 1 > 0$).

- Координаты вершины: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

- $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина в точке $(-2, -1)$.

- Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0, y=3$. Точка $(0, 3)$.

С осью Ox: $y=0, x^2 + 4x + 3 = 0$. Корни $x_1 = -1, x_2 = -3$. Точки $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$.

5. Найдем координаты выколотой точки. При $x = 3$:

$y = 3^2 + 4(3) + 3 = 9 + 12 + 3 = 24$.

Выколотая точка имеет координаты $(3, 24)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 4x + 3$ с выколотой точкой $(3, 24)$.

г)

Дана функция $y = \frac{x^4 - 5x^2 + 4}{x^2 - x - 2}$.

1. Найдем область определения. Решим уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2, x_2 = -1$. Значит, область определения: $x \neq 2$ и $x \neq -1$.

2. Упростим функцию. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Знаменатель: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.

Числитель (биквадратное уравнение): пусть $t = x^2$. Тогда $t^2 - 5t + 4 = 0$. Корни $t_1 = 1, t_2 = 4$.

Следовательно, $x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$.

Подставим в функцию:

$y = \frac{(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 1)}$.

Учитывая область определения ($x \neq 2, x \neq -1$), сократим дробь:

$y = (x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$.

3. График исходной функции — парабола $y = x^2 + x - 2$ с выколотыми точками при $x = 2$ и $x = -1$.

4. Построим параболу $y = x^2 + x - 2$.

- Ветви вверх ($a = 1 > 0$).

- Координаты вершины: $x_0 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$.

- $y_0 = (-0.5)^2 + (-0.5) - 2 = 0.25 - 0.5 - 2 = -2.25$. Вершина в точке $(-0.5, -2.25)$.

- Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0, y=-2$. Точка $(0, -2)$.

С осью Ox: $y=0, x^2 + x - 2 = 0$. Корни $x_1 = 1, x_2 = -2$. Точки $(1, 0)$ и $(-2, 0)$.

5. Найдем координаты выколотых точек:

- При $x = 2$: $y = 2^2 + 2 - 2 = 4$. Выколотая точка $(2, 4)$.

- При $x = -1$: $y = (-1)^2 + (-1) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2$. Выколотая точка $(-1, -2)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + x - 2$ с выколотыми точками $(2, 4)$ и $(-1, -2)$.

169. a) Постройте график функции $y = \frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x - 2}$ и найдите, при каких значениях $p$ прямая $y = p$ имеет с графиком данной функции одну общую точку.

б) Постройте график функции $y = \frac{x^3 + 3x^2 + 2x}{x + 1}$ и найдите, при каких значениях $p$ прямая $y = p$ имеет с графиком данной функции одну общую точку.

а) Постройте график функции $y = \frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x - 2}$ и найдите, при каких значениях $p$ прямая $y = p$ имеет с графиком данной функции одну общую точку.

1. Упрощение функции.
Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.
Разложим числитель на множители методом группировки:
$x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x + 1) - 4(x + 1) = (x^2 - 4)(x + 1) = (x - 2)(x + 2)(x + 1)$.
Теперь мы можем упростить выражение для функции при $x \neq 2$:
$y = \frac{(x - 2)(x + 2)(x + 1)}{x - 2} = (x + 2)(x + 1) = x^2 + 3x + 2$.
Таким образом, график исходной функции — это парабола $y = x^2 + 3x + 2$ с "выколотой" точкой при $x = 2$.

2. Построение графика.
Графиком функции $y = x^2 + 3x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы ($x_v, y_v$):
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.
$y_v = (-1.5)^2 + 3(-1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25$.
Вершина находится в точке $(-1.5, -0.25)$.
Найдем координаты "выколотой" точки. Для этого подставим $x = 2$ в упрощенную функцию:
$y(2) = 2^2 + 3(2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12$.
Координаты "выколотой" точки — $(2, 12)$.
График представляет собой параболу с вершиной в $(-1.5, -0.25)$ и выколотой точкой $(2, 12)$.

3. Нахождение значений $p$.
Прямая $y = p$ — это горизонтальная прямая. Она имеет с графиком ровно одну общую точку в двух случаях:
- Когда прямая касается вершины параболы. Это происходит при $p = y_v = -0.25$.
- Когда прямая проходит через "выколотую" точку. Это происходит при $p = 12$. В этом случае прямая $y = 12$ пересекает параболу в двух точках. Найдем их абсциссы: $x^2 + 3x + 2 = 12 \Rightarrow x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$. Так как точка с абсциссой $x = 2$ выколота, прямая $y = 12$ пересекает график только в одной точке, где $x = -5$.
Следовательно, прямая $y = p$ имеет с графиком одну общую точку при $p = -0.25$ и $p = 12$.

Ответ: $p = -0.25; p = 12.$

б) Постройте график функции $y = \frac{x^3 + 3x^2 + 2x}{x + 1}$ и найдите, при каких значениях $p$ прямая $y = p$ имеет с графиком данной функции одну общую точку.

1. Упрощение функции.
Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x + 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.
Разложим числитель на множители. Сначала вынесем $x$ за скобки:
$x^3 + 3x^2 + 2x = x(x^2 + 3x + 2)$.
Теперь разложим квадратный трехчлен $x^2 + 3x + 2$. Его корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$, поэтому $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.
Числитель равен $x(x + 1)(x + 2)$.
Упростим выражение для функции при $x \neq -1$:
$y = \frac{x(x + 1)(x + 2)}{x + 1} = x(x + 2) = x^2 + 2x$.
Таким образом, график исходной функции — это парабола $y = x^2 + 2x$ с "выколотой" точкой при $x = -1$.

2. Построение графика.
Графиком функции $y = x^2 + 2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы ($x_v, y_v$):
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина находится в точке $(-1, -1)$.
Найдем координаты "выколотой" точки. Абсцисса выколотой точки $x = -1$, что совпадает с абсциссой вершины. Ордината точки: $y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = -1$.
Координаты "выколотой" точки — $(-1, -1)$.
Таким образом, график функции — это парабола $y = x^2 + 2x$, у которой выколота вершина.

3. Нахождение значений $p$.
Прямая $y = p$ — это горизонтальная прямая. Проанализируем количество точек пересечения с графиком в зависимости от $p$:
- Если $p > -1$, прямая пересекает обе ветви параболы, т.е. имеет две общие точки.
- Если $p = -1$, прямая проходит через выколотую вершину параболы, т.е. не имеет общих точек с графиком.
- Если $p < -1$, прямая расположена ниже выколотой вершины и не имеет общих точек с графиком.
Таким образом, не существует такого значения $p$, при котором прямая $y=p$ имела бы с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Ответ: таких значений $p$ нет.