Страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

152 а) Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций $y=7x$ и $y=-5x+21$.

б) Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций $y=9x-4$ и $y=4x+9$.

а)

Чтобы найти абсциссу (координату $x$) точки пересечения графиков функций, нужно приравнять правые части уравнений, так как в точке пересечения значения $y$ у обеих функций совпадают.

Даны функции $y=7x$ и $y=-5x+21$.

Приравняем их правые части:

$7x = -5x + 21$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$7x + 5x = 21$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$12x = 21$

Разделим обе части уравнения на 12, чтобы найти $x$:

$x = \frac{21}{12}$

Сократим полученную дробь на 3:

$x = \frac{7}{4}$

Переведем дробь в десятичный вид:

$x = 1.75$

Ответ: $1.75$

б)

Аналогично найдем абсциссу точки пересечения графиков функций $y=9x-4$ и $y=4x+9$.

Приравняем правые части уравнений:

$9x - 4 = 4x + 9$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$9x - 4x = 9 + 4$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$5x = 13$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{13}{5}$

Переведем дробь в десятичный вид:

$x = 2.6$

Ответ: $2.6$

153 а) Найдите ординату точки пересечения графиков функций $y = -8x + 11$ и $y = -2x - 7$.

б) Найдите ординату точки пересечения графиков функций $y = 21x$ и $y = x - 6$.

а) Чтобы найти ординату точки пересечения графиков функций, сначала найдем абсциссу этой точки. В точке пересечения значения $y$ у обеих функций равны, поэтому мы можем приравнять их правые части.
Даны функции $y = -8x + 11$ и $y = -2x - 7$.
Приравниваем выражения для $y$:
$-8x + 11 = -2x - 7$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а свободные члены — в другую:
$11 + 7 = -2x + 8x$
$18 = 6x$
$x = \frac{18}{6}$
$x = 3$
Мы нашли абсциссу ($x$) точки пересечения. Теперь, чтобы найти ординату ($y$), подставим найденное значение $x = 3$ в уравнение любой из исходных функций. Возьмем, например, второе уравнение:
$y = -2x - 7$
$y = -2(3) - 7 = -6 - 7 = -13$
Для проверки можно подставить $x=3$ в первое уравнение:
$y = -8(3) + 11 = -24 + 11 = -13$
Результаты совпадают, значит, ордината точки пересечения найдена верно.
Ответ: -13

б) Поступаем аналогичным образом для функций $y = 21x$ и $y = x - 6$.
Приравниваем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения:
$21x = x - 6$
Решаем уравнение:
$21x - x = -6$
$20x = -6$
$x = -\frac{6}{20}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$x = -\frac{3}{10} = -0.3$
Теперь, зная абсциссу, найдем ординату ($y$). Подставим значение $x = -0.3$ в первое уравнение (оно проще):
$y = 21x$
$y = 21 \times (-0.3) = -6.3$
Проверим, подставив $x = -0.3$ во второе уравнение:
$y = x - 6 = -0.3 - 6 = -6.3$
Значения $y$ совпали, следовательно, ордината точки пересечения равна -6.3.
Ответ: -6.3

154 a) Найдите координаты точки пересечения графиков функций $y = 15x + 4$ и $y = 11x - 8$. В ответе укажите сумму найденных координат.

б) Найдите координаты точки пересечения графиков функций $y = 8x - 11$ и $y = -6x + 7$. В ответе укажите значение выражения $\frac{x}{y}$.

а) Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух функций, необходимо решить систему уравнений, так как в точке пересечения значения $x$ и $y$ у обоих графиков совпадают.

Даны функции: $y = 15x + 4$ и $y = 11x - 8$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти координату $x$:

$15x + 4 = 11x - 8$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$15x - 11x = -8 - 4$

$4x = -12$

$x = \frac{-12}{4}$

$x = -3$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти координату $y$. Возьмем первое уравнение:

$y = 15x + 4 = 15 \cdot (-3) + 4 = -45 + 4 = -41$

Таким образом, координаты точки пересечения: $(-3; -41)$.

По условию задачи, нужно указать сумму найденных координат:

$x + y = -3 + (-41) = -44$

Ответ: -44

б) Аналогично пункту а), найдем координаты точки пересечения графиков функций $y = 8x - 11$ и $y = -6x + 7$.

Приравняем правые части уравнений:

$8x - 11 = -6x + 7$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$8x + 6x = 7 + 11$

$14x = 18$

$x = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$

Теперь найдем координату $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:

$y = -6x + 7 = -6 \cdot (\frac{9}{7}) + 7 = -\frac{54}{7} + \frac{49}{7} = \frac{-54+49}{7} = -\frac{5}{7}$

Координаты точки пересечения: $(\frac{9}{7}; -\frac{5}{7})$.

По условию задачи, нужно найти значение выражения $\frac{x}{y}$:

$\frac{x}{y} = \frac{9/7}{-5/7} = \frac{9}{7} \cdot (-\frac{7}{5}) = -\frac{9}{5} = -1.8$

Ответ: -1.8

155 a) Найдите значение параметра $a$, если известно, что прямая $ax + 6y = 4$ проходит через точку $(2; 1)$.

б) Найдите значение параметра $b$, если известно, что прямая $-4x + by = -2$ проходит через точку $(3; 8)$.

а) Уравнение прямой имеет вид $ax + 6y = 4$. По условию, прямая проходит через точку $(2; 1)$. Это значит, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой. Чтобы найти значение параметра $a$, подставим в уравнение вместо $x$ значение 2, а вместо $y$ значение 1.
$a \cdot 2 + 6 \cdot 1 = 4$
Получаем уравнение относительно $a$:
$2a + 6 = 4$
Перенесем 6 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2a = 4 - 6$
$2a = -2$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a = \frac{-2}{2}$
$a = -1$
Ответ: $a = -1$.

б) Уравнение прямой имеет вид $-4x + by = -2$. По условию, прямая проходит через точку $(3; 8)$. Это значит, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой. Чтобы найти значение параметра $b$, подставим в уравнение вместо $x$ значение 3, а вместо $y$ значение 8.
$-4 \cdot 3 + b \cdot 8 = -2$
Получаем уравнение относительно $b$:
$-12 + 8b = -2$
Перенесем -12 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$8b = -2 + 12$
$8b = 10$
Разделим обе части уравнения на 8:
$b = \frac{10}{8}$
Сократим дробь на 2:
$b = \frac{5}{4}$
Ответ: $b = \frac{5}{4}$.

156 a) Найдите наименьшее значение функции $y = x^2 - 6x + 5$.

б) Найдите наименьшее значение функции $y = x^2 + 4x - 1$.

а)

Данная функция $y = x^2 - 6x + 5$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля. Наименьшее значение такой функции достигается в вершине параболы.

Для нахождения наименьшего значения представим функцию в виде $y = a(x - m)^2 + n$, где $(m, n)$ — координаты вершины. Для этого выделим полный квадрат.

$y = x^2 - 6x + 5 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3) + 5$

Чтобы получить полный квадрат, добавим и вычтем $3^2=9$:

$y = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5$

Теперь выражение в скобках является полным квадратом $(x-3)^2$:

$y = (x - 3)^2 - 4$

Поскольку выражение $(x - 3)^2$ всегда больше или равно нулю (его наименьшее значение равно 0 при $x=3$), наименьшее значение всей функции будет достигаться, когда $(x - 3)^2 = 0$.

$y_{наим} = 0 - 4 = -4$

Ответ: -4.

б)

Функция $y = x^2 + 4x - 1$ также является квадратичной с ветвями параболы, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1). Ее наименьшее значение находится в вершине параболы.

Снова выделим полный квадрат, чтобы найти координаты вершины.

$y = x^2 + 4x - 1 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2) - 1$

Добавим и вычтем $2^2=4$:

$y = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 1$

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат $(x+2)^2$:

$y = (x + 2)^2 - 5$

Выражение $(x + 2)^2$ всегда неотрицательно, и его минимальное значение равно 0 (при $x=-2$).

Таким образом, наименьшее значение функции равно:

$y_{наим} = 0 - 5 = -5$

Ответ: -5.

157. а) Найдите наибольшее значение функции $y = -10x^2 + 30x - 23$.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = -5x^2 - 16x + 11$.

а) Данная функция $y = -10x^2 + 30x - 23$ является квадратичной. Её график — парабола. Поскольку коэффициент при старшем члене $a = -10$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

В нашем случае коэффициенты равны: $a = -10$, $b = 30$, $c = -23$.

Найдем абсциссу (координату $x$) вершины:

$x_0 = -\frac{30}{2 \cdot (-10)} = -\frac{30}{-20} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь подставим найденное значение $x_0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины, которая и будет наибольшим значением функции:

$y_{наиб} = y(1.5) = -10 \cdot (1.5)^2 + 30 \cdot 1.5 - 23 = -10 \cdot 2.25 + 45 - 23 = -22.5 + 45 - 23 = 22.5 - 23 = -0.5$

Ответ: -0.5

б) Функция $y = -5x^2 - 16x + 11$ также является квадратичной. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -5$, он отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функции находится в ее вершине.

Коэффициенты функции: $a = -5$, $b = -16$, $c = 11$.

Найдем абсциссу вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-16}{2 \cdot (-5)} = \frac{16}{-10} = -1.6$

Подставим значение $x_0 = -1.6$ в уравнение функции, чтобы найти наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(-1.6) = -5 \cdot (-1.6)^2 - 16 \cdot (-1.6) + 11 = -5 \cdot 2.56 + 25.6 + 11 = -12.8 + 25.6 + 11 = 12.8 + 11 = 23.8$

Ответ: 23.8

158. a) Найдите наибольшее значение функции $y = \sqrt{16 - x^2}$.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = 1 - \sqrt{x}$.

а) Для нахождения наибольшего значения функции $y = \sqrt{16 - x^2}$ необходимо проанализировать ее структуру. Функция $f(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей, это означает, что чем больше значение подкоренного выражения, тем больше значение самой функции. Следовательно, нам нужно найти наибольшее значение выражения $16 - x^2$.

Выражение $x^2$ (квадрат любого действительного числа) всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$.

Чтобы разность $16 - x^2$ была максимальной, вычитаемое $x^2$ должно быть минимальным. Наименьшее значение $x^2$ равно 0, и оно достигается при $x=0$.

Таким образом, наибольшее значение подкоренного выражения равно:

$16 - 0 = 16$

Теперь мы можем найти наибольшее значение функции $y$:

$y_{наиб} = \sqrt{16} = 4$

Это значение достигается при $x=0$. Стоит убедиться, что $x=0$ входит в область определения функции. Область определения задается условием $16 - x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 16$, или $-4 \le x \le 4$. Так как $x=0$ принадлежит этому отрезку, найденное значение является верным.

Ответ: 4

б) Рассмотрим функцию $y = 1 - \sqrt{x}$. Чтобы найти ее наибольшее значение, нужно проанализировать, как значение $\sqrt{x}$ влияет на итоговый результат. Поскольку мы вычитаем $\sqrt{x}$ из константы 1, значение $y$ будет наибольшим, когда вычитаемое $\sqrt{x}$ будет наименьшим.

Сначала определим область определения функции. Выражение $\sqrt{x}$ определено для всех неотрицательных чисел, то есть $x \ge 0$.

Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, ее наименьшее значение достигается при наименьшем возможном значении аргумента $x$. В области определения $[0, +\infty)$ наименьшее значение $x$ равно 0.

Найдем наименьшее значение $\sqrt{x}$:

$\sqrt{0} = 0$

Теперь подставим это наименьшее значение в исходную функцию, чтобы найти ее наибольшее значение:

$y_{наиб} = 1 - 0 = 1$

Ответ: 1

159 a) Найдите наименьшее значение функции $y = 5 + 3\sqrt{x}$.

б) Найдите наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 + 49}$.

а) Найдите наименьшее значение функции $y = 5 + 3\sqrt{x}$.

Для нахождения наименьшего значения данной функции проанализируем ее структуру. Функция состоит из константы 5 и слагаемого $3\sqrt{x}$.

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения, то есть $x \ge 0$.

Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что чем меньше значение аргумента $x$, тем меньше значение функции $\sqrt{x}$.

Следовательно, чтобы найти наименьшее значение функции $y$, нам нужно взять наименьшее возможное значение $x$. Из области определения $x \ge 0$ наименьшим значением является $x = 0$.

Подставим $x = 0$ в исходное уравнение:

$y_{min} = 5 + 3\sqrt{0} = 5 + 3 \cdot 0 = 5$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно 5.

Ответ: 5

б) Найдите наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 + 49}$.

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 + 49}$, необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения $x^2 + 49$. Это связано с тем, что функция квадратного корня $f(t) = \sqrt{t}$ является монотонно возрастающей, и ее наименьшее значение достигается при наименьшем значении ее аргумента $t$.

Рассмотрим подкоренное выражение $z(x) = x^2 + 49$.

Выражение $x^2$ представляет собой квадрат действительного числа, который всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого $x$.

Наименьшее значение $x^2$ равно 0 и достигается при $x = 0$.

Следовательно, наименьшее значение всего подкоренного выражения $x^2 + 49$ будет:

$z_{min} = 0 + 49 = 49$.

Теперь, когда мы нашли наименьшее значение подкоренного выражения, мы можем найти наименьшее значение исходной функции $y$:

$y_{min} = \sqrt{z_{min}} = \sqrt{49} = 7$.

Наименьшее значение функции достигается при $x = 0$ и равно 7.

Ответ: 7

160 a) Найдите наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 - 6x + 10}$.

б) Найдите наименьшее значение функции $y = \sqrt{2x^2 + 4x + 6}$.

а) Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 - 6x + 10}$, необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения $g(x) = x^2 - 6x + 10$, поскольку функция $f(z) = \sqrt{z}$ является монотонно возрастающей.
Подкоренное выражение $g(x) = x^2 - 6x + 10$ является квадратичной функцией. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в своей вершине.
Абсцисса вершины параболы $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В данном случае $a=1$, $b=-6$: $x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
Теперь найдём наименьшее значение подкоренного выражения, подставив $x=3$ в $g(x)$: $g_{min} = g(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 = 9 - 18 + 10 = 1$.
Наименьшее значение исходной функции $y$ равно корню из наименьшего значения подкоренного выражения: $y_{min} = \sqrt{1} = 1$.
Альтернативный способ: выделим полный квадрат в подкоренном выражении: $x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 9 + 10 = (x - 3)^2 + 1$. Так как $(x - 3)^2 \ge 0$, наименьшее значение выражения $(x-3)^2+1$ равно $1$ (достигается при $x=3$). Тогда наименьшее значение функции $y$ равно $\sqrt{1} = 1$.
Ответ: 1.

б) Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{2x^2 + 4x + 6}$, необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения $h(x) = 2x^2 + 4x + 6$.
Подкоренное выражение $h(x) = 2x^2 + 4x + 6$ является квадратичной функцией. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше 0). Наименьшее значение достигается в вершине.
Абсцисса вершины параболы $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В данном случае $a=2$, $b=4$: $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.
Теперь найдём наименьшее значение подкоренного выражения, подставив $x=-1$ в $h(x)$: $h_{min} = h(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) + 6 = 2 - 4 + 6 = 4$.
Наименьшее значение исходной функции $y$ равно корню из наименьшего значения подкоренного выражения: $y_{min} = \sqrt{4} = 2$.
Альтернативный способ: выделим полный квадрат в подкоренном выражении: $2x^2 + 4x + 6 = 2(x^2 + 2x) + 6 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 6 = 2(x+1)^2 - 2 + 6 = 2(x+1)^2 + 4$. Так как $2(x+1)^2 \ge 0$, наименьшее значение выражения $2(x+1)^2+4$ равно $4$ (достигается при $x=-1$). Тогда наименьшее значение функции $y$ равно $\sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.

161 а) Найдите наибольшее значение функции $y = \sqrt{-x^2 + 6x - 5}.$

б) Найдите наибольшее значение функции $y = \sqrt{-x^2 - 4x + 5}.$

а)

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = \sqrt{-x^2 + 6x - 5}$, необходимо найти наибольшее значение подкоренного выражения $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, поскольку функция квадратного корня $y = \sqrt{u}$ является монотонно возрастающей для всех $u \ge 0$.

Подкоренное выражение $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ является квадратичной функцией. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицательный, $a = -1$). Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы, выделив полный квадрат:

$-x^2 + 6x - 5 = -(x^2 - 6x) - 5 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2) - 5 = -((x-3)^2 - 9) - 5 = -(x-3)^2 + 9 - 5 = 4 - (x-3)^2$.

Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-3)^2 \ge 0$. Наибольшее значение выражения $4 - (x-3)^2$ достигается тогда, когда вычитаемое $(x-3)^2$ принимает свое наименьшее значение, то есть 0. Это происходит при $x=3$.

Таким образом, максимальное значение подкоренного выражения равно $4 - 0 = 4$.

Наибольшее значение исходной функции $y$ будет равно квадратному корню из этого максимального значения:

$y_{наиб} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2

б)

Аналогично предыдущему пункту, для нахождения наибольшего значения функции $y = \sqrt{-x^2 - 4x + 5}$ найдем наибольшее значение подкоренного выражения $g(x) = -x^2 - 4x + 5$.

Это также квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз, поэтому ее наибольшее значение находится в вершине.

Выделим полный квадрат для выражения $g(x)$:

$-x^2 - 4x + 5 = -(x^2 + 4x) + 5 = -(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2) + 5 = -((x+2)^2 - 4) + 5 = -(x+2)^2 + 4 + 5 = 9 - (x+2)^2$.

Выражение $(x+2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x+2)^2 \ge 0$. Наибольшее значение выражения $9 - (x+2)^2$ достигается, когда $(x+2)^2$ принимает наименьшее значение, равное 0. Это происходит при $x=-2$.

Максимальное значение подкоренного выражения равно $9 - 0 = 9$.

Следовательно, наибольшее значение исходной функции $y$ равно:

$y_{наиб} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: 3