Страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

127 Укажите уравнение гиперболы, изображённой на рис. 82.

1) $y = \frac{6}{x} - 2;$

2) $y = -\frac{6}{x - 2};$

3) $y = -\frac{6}{x} - 2;$

4) $y = -\frac{6}{x} + 2.$

Рис. 82

Для определения уравнения гиперболы, изображенной на графике, воспользуемся общим видом уравнения гиперболы со смещенными асимптотами: $y = \frac{k}{x - x_0} + y_0$, где $x = x_0$ – уравнение вертикальной асимптоты, а $y = y_0$ – уравнение горизонтальной асимптоты.

1. Найдем асимптоты гиперболы по графику.

• Вертикальная асимптота (прямая, к которой стремится график при $x$, приближающемся к некоторому значению, но не пересекает ее) совпадает с осью $Oy$. Уравнение этой прямой: $x = 0$. Следовательно, $x_0 = 0$.
• Горизонтальная асимптота (прямая, к которой стремится график при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$) на графике показана пунктирной линией. Эта линия проходит через значение $-2$ по оси $Oy$. Уравнение этой прямой: $y = -2$. Следовательно, $y_0 = -2$.

2. Подставим значения $x_0$ и $y_0$ в общую формулу.

Уравнение гиперболы принимает вид: $y = \frac{k}{x - 0} - 2$, то есть $y = \frac{k}{x} - 2$.

3. Определим коэффициент $k$.

Для этого выберем на графике любую точку, через которую проходит гипербола. Например, график пересекает ось $Ox$ в точке с координатами $(-3; 0)$. Подставим эти значения $x = -3$ и $y = 0$ в полученное уравнение:

$0 = \frac{k}{-3} - 2$

Перенесем $-2$ в левую часть уравнения:

$2 = \frac{k}{-3}$

Теперь найдем $k$:

$k = 2 \cdot (-3) = -6$

4. Запишем итоговое уравнение.

Подставив значение $k = -6$ в уравнение $y = \frac{k}{x} - 2$, получаем:

$y = \frac{-6}{x} - 2$ или $y = -\frac{6}{x} - 2$

5. Сравним полученное уравнение с предложенными вариантами.

Наше уравнение $y = -\frac{6}{x} - 2$ полностью совпадает с вариантом ответа под номером 3.

Ответ: 3

128 Укажите уравнение гиперболы, изображённой на рис. 83.

1) $y = \frac{2}{x - 1} - 3;$

2) $y = \frac{2}{x - 3} - 1;$

3) $y = \frac{2}{x + 3} - 1;$

4) $y = \frac{2}{x + 1} + 3.$

Рис. 83

График функции является гиперболой. Общее уравнение гиперболы, полученной сдвигом графика функции $y = \frac{k}{x}$ вдоль осей координат, имеет вид: $y = \frac{k}{x - x_0} + y_0$, где прямые $x = x_0$ и $y = y_0$ являются соответственно вертикальной и горизонтальной асимптотами графика.

По графику, представленному на рисунке, определим положение асимптот. Вертикальная асимптота (вертикальная пунктирная линия) — это прямая $x = 3$. Отсюда следует, что смещение по оси абсцисс $x_0 = 3$. Горизонтальная асимптота (горизонтальная пунктирная линия) — это прямая $y = -1$. Отсюда следует, что смещение по оси ординат $y_0 = -1$.

Подставим найденные значения $x_0$ и $y_0$ в общую формулу уравнения гиперболы:

$y = \frac{k}{x - 3} - 1$

Теперь определим коэффициент $k$. Для этого выберем на графике точку с известными целочисленными координатами, которая не лежит на асимптотах. Например, график проходит через точку с координатами $(5, 0)$. Подставим значения $x=5$ и $y=0$ в полученное уравнение:

$0 = \frac{k}{5 - 3} - 1$

$0 = \frac{k}{2} - 1$

$1 = \frac{k}{2}$

Отсюда находим $k$:

$k = 2$

Таким образом, итоговое уравнение гиперболы, изображённой на рисунке, имеет вид:

$y = \frac{2}{x - 3} - 1$

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, видим, что оно совпадает с вариантом под номером 2.

Ответ: 2.

129 Укажите промежутки убывания функции $y = \frac{5}{x+4}$.

1) $(-\infty; +\infty)$;

2) $(-\infty; -4)$;

3) $(-4; +\infty)$;

4) $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

Для того чтобы найти промежутки убывания функции, необходимо найти ее производную и определить интервалы, на которых она отрицательна.

Заданная функция: $y = \frac{5}{x+4}$.

1. Найдём область определения функции.
Функция не определена, когда знаменатель равен нулю.$x + 4 = 0 \implies x = -4$.Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.
Для нахождения производной можно использовать правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ или представить функцию в виде $y = 5(x+4)^{-1}$ и использовать правило для степенной функции. Воспользуемся вторым способом:$y' = (5(x+4)^{-1})' = 5 \cdot (-1) \cdot (x+4)^{-2} \cdot (x+4)' = -5(x+4)^{-2} \cdot 1 = -\frac{5}{(x+4)^2}$.

3. Определим знак производной.
Проанализируем выражение для производной $y' = -\frac{5}{(x+4)^2}$:

• Числитель дроби равен -5, что является отрицательным числом.
• Знаменатель $(x+4)^2$ — это квадрат выражения, поэтому он всегда положителен для любого $x$ из области определения (то есть при $x \neq -4$).

Таким образом, производная $y'$ является частным от деления отрицательного числа на положительное, а значит, она всегда отрицательна ($y' < 0$) на всей области определения функции.

4. Сделаем вывод.
Поскольку производная функции отрицательна на всей своей области определения, функция убывает на каждом из интервалов, составляющих эту область. Промежутками убывания являются $(-\infty; -4)$ и $(-4; +\infty)$. В ответе требуется указать все промежутки, что соответствует объединению этих интервалов.

Ответ: 4) $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

130 Укажите промежутки возрастания функции $y = -\frac{7}{x - 1}$.

1) $(-\infty; 1)$;

2) $(1; +\infty)$;

3) $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$;

4) $(-\infty; +\infty)$.

Для определения промежутков возрастания функции $y = -\frac{7}{x-1}$ необходимо найти её производную и определить интервалы, на которых эта производная положительна. Функция возрастает там, где её производная больше нуля.

1. Нахождение области определения функции

Функция является дробно-рациональной. Она определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю:

$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Нахождение производной функции

Для нахождения производной можно представить функцию в виде $y = -7(x-1)^{-1}$ и использовать правило дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

$y' = \left(-7(x-1)^{-1}\right)' = -7 \cdot (-1) \cdot (x-1)^{-1-1} \cdot (x-1)'$

$y' = 7 \cdot (x-1)^{-2} \cdot 1 = \frac{7}{(x-1)^2}$

3. Анализ знака производной

Проанализируем знак полученной производной $y' = \frac{7}{(x-1)^2}$ на всей области определения функции.

Числитель дроби, $7$, является положительным числом.

Знаменатель дроби, $(x-1)^2$, является квадратом выражения. Для любого действительного числа $x$ из области определения (то есть $x \neq 1$), выражение $(x-1)^2$ будет строго положительным.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то и вся производная $y'$ будет положительна на всей области определения:

$y' = \frac{7}{(x-1)^2} > 0$ при всех $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

4. Определение промежутков возрастания

Так как производная функции положительна на всей её области определения, функция возрастает на каждом из интервалов, составляющих эту область.

Следовательно, промежутками возрастания функции являются $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Среди предложенных вариантов ответа этому соответствует вариант 3, который представляет собой объединение этих двух промежутков.

Ответ: 3) $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

131 а) Найдите наименьшее значение функции $y = \frac{6}{x - 2}$ на отрезке $[-8; -3]$.

1) -6; 2) -0,6; 3) -1,2; 4) -1.

б) Найдите наибольшее значение функции $y = \frac{10}{x + 5}$ на отрезке $[-4,5; -2,5]$.

1) 5; 2) 20; 3) 4; 4) 25.

а)

Задана функция $y = \frac{6}{x-2}$ на отрезке $[-8; -3]$. Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке необходимо исследовать её на монотонность. Для этого найдем её производную.

$y' = \left(\frac{6}{x-2}\right)' = 6 \cdot ((x-2)^{-1})' = 6 \cdot (-1) \cdot (x-2)^{-2} = -\frac{6}{(x-2)^2}$.

Знаменатель производной $(x-2)^2$ всегда положителен (или равен нулю в точке $x=2$, которая не входит в рассматриваемый отрезок). Числитель -6 отрицателен. Следовательно, производная $y'$ всегда отрицательна на области определения функции.

Поскольку производная функции отрицательна на всем отрезке $[-8; -3]$, функция является строго убывающей на этом отрезке.

Для убывающей функции наименьшее значение на отрезке достигается в его правом конце. В нашем случае это точка $x = -3$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$y(-3) = \frac{6}{-3 - 2} = \frac{6}{-5} = -1,2$.

Это значение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) -1,2.

б)

Задана функция $y = \frac{10}{x+5}$ на отрезке $[-4,5; -2,5]$. Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке найдем её производную, чтобы определить интервалы монотонности.

$y' = \left(\frac{10}{x+5}\right)' = 10 \cdot ((x+5)^{-1})' = 10 \cdot (-1) \cdot (x+5)^{-2} = -\frac{10}{(x+5)^2}$.

Знаменатель производной $(x+5)^2$ всегда положителен (или равен нулю в точке $x=-5$, которая не входит в рассматриваемый отрезок). Числитель -10 отрицателен. Таким образом, производная $y'$ всегда отрицательна на области определения функции.

Так как производная функции отрицательна на всем отрезке $[-4,5; -2,5]$, функция является строго убывающей на этом отрезке.

Для убывающей функции наибольшее значение на отрезке достигается в его левом конце. В данном случае это точка $x = -4,5$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$y(-4,5) = \frac{10}{-4,5 + 5} = \frac{10}{0,5} = 20$.

Это значение соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) 20.