Номер 127, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

127 Укажите уравнение гиперболы, изображённой на рис. 82.

1) $y = \frac{6}{x} - 2;$

2) $y = -\frac{6}{x - 2};$

3) $y = -\frac{6}{x} - 2;$

4) $y = -\frac{6}{x} + 2.$

Рис. 82

Для определения уравнения гиперболы, изображенной на графике, воспользуемся общим видом уравнения гиперболы со смещенными асимптотами: $y = \frac{k}{x - x_0} + y_0$, где $x = x_0$ – уравнение вертикальной асимптоты, а $y = y_0$ – уравнение горизонтальной асимптоты.

1. Найдем асимптоты гиперболы по графику.

• Вертикальная асимптота (прямая, к которой стремится график при $x$, приближающемся к некоторому значению, но не пересекает ее) совпадает с осью $Oy$. Уравнение этой прямой: $x = 0$. Следовательно, $x_0 = 0$.
• Горизонтальная асимптота (прямая, к которой стремится график при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$) на графике показана пунктирной линией. Эта линия проходит через значение $-2$ по оси $Oy$. Уравнение этой прямой: $y = -2$. Следовательно, $y_0 = -2$.

2. Подставим значения $x_0$ и $y_0$ в общую формулу.

Уравнение гиперболы принимает вид: $y = \frac{k}{x - 0} - 2$, то есть $y = \frac{k}{x} - 2$.

3. Определим коэффициент $k$.

Для этого выберем на графике любую точку, через которую проходит гипербола. Например, график пересекает ось $Ox$ в точке с координатами $(-3; 0)$. Подставим эти значения $x = -3$ и $y = 0$ в полученное уравнение:

$0 = \frac{k}{-3} - 2$

Перенесем $-2$ в левую часть уравнения:

$2 = \frac{k}{-3}$

Теперь найдем $k$:

$k = 2 \cdot (-3) = -6$

4. Запишем итоговое уравнение.

Подставив значение $k = -6$ в уравнение $y = \frac{k}{x} - 2$, получаем:

$y = \frac{-6}{x} - 2$ или $y = -\frac{6}{x} - 2$

5. Сравним полученное уравнение с предложенными вариантами.

Наше уравнение $y = -\frac{6}{x} - 2$ полностью совпадает с вариантом ответа под номером 3.

Ответ: 3