Номер 122, страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

122 Укажите множество значений функции $y = \frac{3}{x + 2}$.

1) $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty);$

2) $(-\infty; +\infty);$

3) $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty);$

4) $(1,5; +\infty).$

Для нахождения множества значений функции $y = \frac{3}{x+2}$ необходимо определить все возможные значения, которые может принимать $y$. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Аналитический (выражение $x$ через $y$)

Выразим переменную $x$ из уравнения функции $y = \frac{3}{x+2}$. Это позволит нам увидеть, какие ограничения накладываются на переменную $y$.

1. Начнем с исходного уравнения: $y = \frac{3}{x+2}$

2. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x+2)$, при условии, что $x+2 \neq 0$ (это область определения функции).

   $y(x+2) = 3$

3. Раскроем скобки в левой части:

   $yx + 2y = 3$

4. Изолируем слагаемое с $x$:

   $yx = 3 - 2y$

5. Чтобы выразить $x$, разделим обе части на $y$:

   $x = \frac{3 - 2y}{y}$

В полученном выражении для $x$ переменная $y$ находится в знаменателе. Дробь имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Следовательно, должно выполняться условие $y \neq 0$.

Это означает, что переменная $y$ может принимать любое действительное значение, кроме 0. Множество таких значений записывается в виде объединения двух интервалов: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Способ 2: Графический (анализ асимптот)

Функция $y = \frac{3}{x+2}$ представляет собой гиперболу. Ее график — это график функции $y = \frac{1}{x}$, растянутый в 3 раза вдоль оси Oy и смещенный на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

• Вертикальная асимптота. Она существует там, где знаменатель обращается в ноль: $x+2=0$, то есть $x=-2$.

• Горизонтальная асимптота. Она определяется пределом функции при $x \to \pm\infty$:

  $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3}{x+2} = 0$

  Это означает, что при $x$, стремящемся к плюс или минус бесконечности, значение функции $y$ стремится к 0, но никогда его не достигает. Таким образом, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой.

Поскольку ветви гиперболы уходят на бесконечность вверх и вниз (приближаясь к вертикальной асимптоте), а сама функция никогда не пересекает горизонтальную асимптоту $y=0$, множество ее значений — это все действительные числа, кроме нуля.

Сравнивая наш результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом 1.

Ответ: 1) $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$